유계 집합

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수학에서 유계 집합(有界集合, 영어: bounded set)은 유한한 영역을 가지는 집합이다. 유계성은 순서나 거리가 정의되었을 때 의미를 가지며, 각 구조에 따른 정의는 아래와 같다.

위의 집합은 유계집합이지만, 아래는 유계가 아닌 집합

정의

유계 집합은 부분 순서 집합이나 거리 공간, 또는 위상 벡터 공간의 구조가 주어졌을 때 정의할 수 있다. 모든 경우, 유계집합이 아닌 부분집합을 무계집합(無界集合, 영어: unbounded set)이라고 한다.

부분 순서 집합에서의 유계 집합

부분 순서 집합 $(X,\leq )$의 부분 집합 $S\subset X$가 모든 x ∈ S에 대해 x ≤ z 인 어떤 z ∈ X가 존재함을 만족하면, S를 위로 유계(bounded from above)라 정의한다. 그리고 모든 x ∈ S에 대해 x ≤ z 인 X의 원소 z를 상계(upper bound)라고 한다.

마찬가지로, X의 부분집합 S가 모든 x ∈ S에 대해 x ≥ z 인 어떤 z ∈ X가 존재함을 만족하면, S를 아래로 유계(bounded from below)라 정의한다. 그리고 모든 x ∈ S에 대해 x ≥ z 인 X의 원소 z를 하계(lower bound)라 한다.

유계 집합은 상계와 하계를 둘 다 갖는 부분 집합이다.

거리 공간에서의 유계 집합

거리 공간 $(M,d)$의 부분 집합 $S\subset M$에 대하여, 만약 다음 조건을 만족시키는 점 $x\in M$이 존재한다면 $S$를 유계 집합이라고 한다.

• $\sup\{d(x,s):s\in S\}<\infty$

만약 $M$ 전체가 유계라면, $M$은 유계 공간이라고 한다. 완전 유계 공간은 유계 공간이다.

위상 벡터 공간에서의 유계 집합

위상 벡터 공간 $V$의 부분 집합 $S\subset V$이 주어졌을 때, 영벡터의 임의의 근방 $N$ 에 대하여 다음을 만족하는 스칼라 $\alpha$가 존재할 경우, $S$를 $V$의 유계집합이라고 한다.

$S\subset \alpha N$

이때 $\alpha N=\{\alpha x:x\in N\}$이다.

서로 다른 정의의 호환

일반적으로, 주어진 공간에 대하여 부분 순서나 거리 공간, 위상 벡터 공간의 구조가 공존할 수 있다. 일반적으로, 이 정의들은 서로 호환되지 못할 수 있다.

노름 공간은 거리 공간과 위상 벡터 공간의 구조를 동시에 갖는다. 이 경우, 유계집합의 두 정의는 서로 일치한다. 일반적으로, 프레셰 공간의 경우, 위상 벡터 공간으로서의 유계 집합은 모든 반노름들에 대하여 유계인 집합이다.

실수의 집합 $\mathbb {R}$의 경우 전순서와 거리 공간, 위상 벡터 공간의 구조가 모두 존재하며, 이 경우 유계 집합의 세 가지 정의는 모두 일치한다.

같이 보기

• 상한과 하한
• 유계 함수
• 순서론
• 완전 유계 공간

외부 링크

• “Bounded set”. 《Encyclopedia of Mathematics》 (영어). Springer-Verlag. 2001. ISBN 978-1-55608-010-4.