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유니터리 표현

군 표현론에서, 유니터리 표현(unitary表現, 영어: unitary representation)은 모든 군 원소의 이 어떤 복소수 힐베르트 공간 위의 유니터리 작용소를 이루는 군 표현이다.

정의편집

위상군  유니터리 표현은 다음과 같은 데이터로 주어진다.

이는 다음 조건을 만족시켜야 한다.

같은 위상군  의 두 유니터리 표현  ,   사이의 유니터리 얽힘 연산자(영어: unitary intertwining operator)는 다음 조건을 만족시키는 유니터리 작용소  이다.

 

두 유니터리 표현 사이에 유니터리 얽힘 연산자가 존재한다면, 서로 유니터리 동치(영어: unitarily equivalent)라고 한다.

성질편집

제2 페터-바일 정리편집

위상군  의 유니터리 표현  이 주어졌다고 하자. 만약 임의의 부분 복소수 벡터 공간  가 다음 두 조건을 만족시킨다고 하자.

  •  의 작용에 대하여 불변이다. (즉, 임의의  에 대하여  이다.)

그렇다면    역시 닫힌 불변 부분 공간이며,

 

로 분해된다.

증명:

 가 불변 공간임을 보이려면, 임의의    에 대하여,

 

임을 보이면 족하다. 그런데 유니터리 표현의 정의에 의하여

 

이다. 특히,   역시 닫힌 불변 부분 공간이다. 이에 따라:  이다.

사실, 다음과 같은 제2 페터-바일 정리가 성립한다.

임의의 콤팩트 위상군  의 유니터리 표현  에 대하여,
 
 
가 되는 유한 차원 기약 유니터리 표현들의 족  이 존재한다.

여기서  는 힐베르트 공간의 직합, 즉 (대수적) 직합완비화이다.

제1 페터-바일 정리편집

콤팩트 위상군   위의 르베그 공간  를 생각하자. 여기서 제곱 적분 가능이란 하르 측도에 따른 것이며, 편의상  로 규격화하자.

 의 임의의 유한 차원 유니터리 기약 표현  에 대하여,  에 임의의 기저를 잡아 행렬 성분들   ( )을 정의할 수 있다. 페터-바일 정리(Peter-Weyl定理, 영어: Peter–Weyl theorem)에 따르면, 함수들

 

 정규 직교 기저를 이룬다.

역사편집

페터-바일 정리는 프리츠 페터(독일어: Fritz Peter)와 헤르만 바일이 1927년에 증명하였다.[1]

참고 문헌편집

  1. Peter, Fritz; Weyl, H. (1927). “Die Vollständigkeit der primitiven Darstellungen einer geschlossenen kontinuierlichen Gruppe”. 《Mathematische Annalen》 (독일어) 97: 737–755. doi:10.1007/BF01447892. 

외부 링크편집