유니터리 행렬

선형대수학에서, 유니타리 행렬(영어: unitary matrix)는 켤레 전치역행렬과 같은 복소수 행렬이다.

정의편집

복소수   행렬  에 대하여, 다음 조건들이 서로 동치이며, 이를 만족시키는  유니타리 행렬이라고 한다.

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  •  의 열들은  정규 직교 기저를 이룬다.
  •  의 행들은  의 정규 직교 기저를 이룬다.
  •  에서, 모든 정규 직교 기저  에 대하여,  는 정규 직교 기저이다.
  •  에서, 어떤 정규 직교 기저  에 대하여,  는 정규 직교 기저이다.
  •  정규 행렬이며, 모든 고윳값절댓값은 1이다.
  • 임의의  에 대하여,  .
  • 임의의  에 대하여,  .

여기서  켤레 전치,   의 표준 내적,   의 표준 노름이다.

성질편집

실수 행렬의 경우 유니타리 행렬은 직교 행렬과 동치이다.[1]:304

유니타리 행렬  는 다음과 같은 성질을 갖는다.

  • 정규 행렬이다.
  • 대각화 가능하다. 이는 스펙트럼 정리의 결과에 따라  가 대각행렬과 유니타리하게 닮음이란 것이다.   와 같이 분해할 수 있다. 여기서  는 유니타리 행렬,  대각 유니타리 행렬이다.
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  •  고유 공간은 정규 직교다.
  •  에르미트 행렬  가 존재한다. ( 행렬 지수 함수)

모든   유니타리 행렬의 집합은 행렬 곱셈에 따라 을 이루며, 이를 유니타리 군  이라고 한다.

편집

복소수   행렬의 경우, 유니타리 행렬은 다음과 같다.

 

복소수   행렬의 경우, 유니타리 행렬은 다음과 같다.

 

각주편집

  1. Hoffman, Kenneth (1971). 《Linear Algebra》 (영어) 2판. Upper Saddle River, New Jersey: Prentice-Hall. ISBN 0-13-536797-2.