유클리드 군 (영어 : Euclidean group )
IO
(
n
)
{\displaystyle \operatorname {IO} (n)}
리 군 반직접곱 이다.
IO
(
n
)
=
R
n
⋊
O
(
n
)
{\displaystyle \operatorname {IO} (n)=\mathbb {R} ^{n}\rtimes \operatorname {O} (n)}
여기서 직교군
O
(
n
)
{\displaystyle \operatorname {O} (n)}
R
n
{\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}
작용 은 다음과 같은,
n
×
n
{\displaystyle n\times n}
n
{\displaystyle n}
O
(
n
)
→
Aut
(
R
n
)
=
GL
(
n
;
R
)
{\displaystyle \operatorname {O} (n)\to \operatorname {Aut} (\mathbb {R} ^{n})=\operatorname {GL} (n;\mathbb {R} )}
R
↦
(
x
↦
R
x
)
{\displaystyle R\mapsto (\mathbf {x} \mapsto R\mathbf {x} )}
이는 유클리드 공간 의 등거리 변환
I
:
R
n
→
R
n
{\displaystyle I\colon \mathbb {R} ^{n}\to \mathbb {R} ^{n}}
위상군 과 같다.
마찬가지로, 특수 유클리드 군 (特殊Euclid群영어 : special Euclidean group )
ISO
(
n
)
{\displaystyle \operatorname {ISO} (n)}
직교군 대신 특수 직교군 을 사용한 다음과 같은 리 군 반직접곱 이다.
ISO
(
n
)
=
R
n
⋊
SO
(
n
)
{\displaystyle \operatorname {ISO} (n)=\mathbb {R} ^{n}\rtimes \operatorname {SO} (n)}
ISO
(
n
)
{\displaystyle \operatorname {ISO} (n)}
IO
(
n
)
{\displaystyle \operatorname {IO} (n)}
SE
(
n
)
{\displaystyle \operatorname {SE} (n)}
E
(
n
)
{\displaystyle \operatorname {E} (n)}
유클리드 대수
편집
유클리드 대칭군
ISO
(
n
)
{\displaystyle \operatorname {ISO} (n)}
IO
(
n
)
{\displaystyle \operatorname {IO} (n)}
리 대수 는 유클리드 대수 (Euclid代數, 영어 : Euclidean algebra )
i
s
o
(
n
)
{\displaystyle {\mathfrak {iso}}(n)}
i
{\displaystyle i}
i
P
i
(
i
=
1
,
…
,
n
)
{\displaystyle iP_{i}\;(i=1,\dots ,n)}
i
J
i
j
(
i
=
1
,
…
,
n
,
J
i
j
=
−
J
j
i
)
{\displaystyle iJ_{ij}\;(i=1,\dots ,n,\;J_{ij}=-J_{ji})}
이들의 리 괄호는 다음과 같다.
[
P
i
,
P
j
]
=
0
{\displaystyle [P_{i},P_{j}]=0}
[
J
i
j
,
P
k
]
=
i
(
δ
i
k
P
j
−
δ
j
k
P
i
)
{\displaystyle [J_{ij},P_{k}]=i\left(\delta _{ik}P_{j}-\delta _{jk}P_{i}\right)}
[
J
i
j
,
J
k
l
]
=
i
(
δ
i
k
J
j
l
−
δ
i
l
J
j
k
−
δ
j
k
J
i
l
+
δ
j
l
J
i
k
)
{\displaystyle [J_{ij},J_{kl}]=i\left(\delta _{ik}J_{jl}-\delta _{il}J_{jk}-\delta _{jk}J_{il}+\delta _{jl}J_{ik}\right)}
위상수학적 성질
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ISO
(
n
)
{\displaystyle \operatorname {ISO} (n)}
IO
(
n
)
{\displaystyle \operatorname {IO} (n)}
n
(
n
+
1
)
/
2
{\displaystyle n(n+1)/2}
리 군 이다.
ISO
(
n
)
{\displaystyle \operatorname {ISO} (n)}
연결 공간 이며,
IO
(
n
)
{\displaystyle \operatorname {IO} (n)}
ISO
(
n
)
{\displaystyle \operatorname {ISO} (n)}
IO
(
n
)
{\displaystyle \operatorname {IO} (n)}
반직접곱 표현에 따라,
ISO
(
n
)
{\displaystyle \operatorname {ISO} (n)}
SO
(
n
)
×
R
n
{\displaystyle \operatorname {SO} (n)\times \mathbb {R} ^{n}}
미분 동형 이다. 특히, 유클리드 군의 기본군 은 다음과 같다.
π
1
(
ISO
(
n
)
)
=
π
1
(
SO
(
n
)
)
=
{
Z
/
2
n
≥
3
Z
n
=
2
1
n
=
1
{\displaystyle \pi _{1}(\operatorname {ISO} (n))=\pi _{1}(\operatorname {SO} (n))={\begin{cases}\mathbb {Z} /2&n\geq 3\\\mathbb {Z} &n=2\\1&n=1\end{cases}}}
n
≥
3
{\displaystyle n\geq 3}
범피복군
ISpin
(
n
)
{\displaystyle \operatorname {ISpin} (n)}
n
=
2
{\displaystyle n=2}
범피복군 은 무한겹이다.
리 이론적 성질
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유클리드 대수의 2차 리 대수 코호몰로지 는 자명하다. 즉, 유클리드 군의 범피복군 은 중심 확대 를 갖지 않는다.
2차원 유클리드 군
ISO
(
2
)
{\displaystyle \operatorname {ISO} (2)}
비안키 분류 의 VII0 에 해당한다.
단위 등거리성
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베크먼-퀄스 정리 (영어 : Beckman–Quarles theorem )에 따르면,
n
≥
2
{\displaystyle n\geq 2}
함수
f
:
R
n
→
R
n
{\displaystyle f\colon \mathbb {R} ^{n}\to \mathbb {R} ^{n}}
동치 이다.[1] [2] [3]
f
{\displaystyle f}
전단사 등거리 변환 이다.
f
{\displaystyle f}
등거리 변환 이다.(단위 길이 등거리성) 임의의
x
,
y
∈
R
n
{\displaystyle \mathbf {x} ,\mathbf {y} \in \mathbb {R} ^{n}}
d
(
x
,
y
)
=
1
{\displaystyle d(\mathbf {x} ,\mathbf {y} )=1}
d
(
f
(
x
)
,
f
(
y
)
)
=
1
{\displaystyle d(f(\mathbf {x} ),f(\mathbf {y} ))=1}
n
=
1
{\displaystyle n=1}
R
→
R
{\displaystyle \mathbb {R} \to \mathbb {R} }
x
↦
{
x
+
1
x
∈
Z
x
x
∈
R
{\displaystyle x\mapsto {\begin{cases}x+1&x\in \mathbb {Z} \\x&x\in \mathbb {R} \end{cases}}}
는 세 번째 조건을 만족시키지만, 등거리 변환 이 아니다. 또한, 베크번-퀄스 정리는 무한 차원 힐베르트 공간 에서도 성립하지 않는다.
원소의 분류
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유클리드 군
IO
(
n
)
{\displaystyle \operatorname {IO} (n)}
R
n
→
R
n
{\displaystyle \mathbb {R} ^{n}\to \mathbb {R} ^{n}}
x
↦
R
x
+
y
,
R
∈
O
(
n
)
,
y
∈
R
n
{\displaystyle \mathbf {x} \mapsto R\mathbf {x} +\mathbf {y} ,\qquad R\in \operatorname {O} (n),\;\mathbf {y} \in \mathbb {R} ^{n}}
만약
y
∈
im
(
1
−
R
)
{\displaystyle \mathbf {y} \in \operatorname {im} (1-R)}
고정점 집합
x
0
+
ker
(
1
−
R
)
{\displaystyle \mathbf {x} _{0}+\ker(1-R)}
고정점 을 갖지 않는다. 또한,
det
R
∈
{
±
1
}
{\displaystyle \det R\in \{\pm 1\}}
det
R
=
+
1
{\displaystyle \det R=+1}
방향 을 보존하고,
det
R
=
−
1
{\displaystyle \det R=-1}
방향 을 보존하지 않는다.
det
R
=
+
1
{\displaystyle \det R=+1}
회전축 (回轉軸, 영어 : axis of rotation )이라고 하며,
det
R
=
−
1
{\displaystyle \det R=-1}
반사 초평면 (反射超平面, 영어 : hyperplane of reflection )이라고 한다.
유클리드 군의 원소들은 방향의 보존 여부와 고정점 의 유무에 따라 다음과 같이 4종류로 분류된다.
각각의 설명은 다음과 같다.
회전 (回轉, 영어 : rotation ):
R
∈
SO
(
n
)
{\displaystyle R\in \operatorname {SO} (n)}
y
∈
im
(
1
−
R
)
{\displaystyle \mathbf {y} \in \operatorname {im} (1-R)}
고정점 집합
x
0
+
ker
(
1
−
R
)
{\displaystyle \mathbf {x} _{0}+\ker(1-R)}
회전축 (영어 : rotation axis )이라고 한다. 만약
n
{\displaystyle n}
짝수 차원, 홀수라면 홀수 차원이다. 회전축이 0차원이라면, 이를 회전 중심 (영어 : center of rotation )이라고 한다. 고정점 집합은 회전축이다.
고정점 집합이
R
n
{\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}
항등 함수 회전 평행 이동 (回轉平行移動, 영어 : rototranslation ):
R
∈
SO
(
n
)
∖
{
1
}
{\displaystyle R\in \operatorname {SO} (n)\setminus \{1\}}
y
∉
im
(
1
−
R
)
{\displaystyle \mathbf {y} \not \in \operatorname {im} (1-R)}
im
(
1
−
R
)
{\displaystyle \operatorname {im} (1-R)}
회전 초평면 (영어 : rotation hyperplane )이라고 하며, 이는
n
{\displaystyle n}
y
⊥
=
proj
(
im
(
1
−
R
)
)
⊥
y
{\displaystyle \mathbf {y} ^{\perp }=\operatorname {proj} _{(\operatorname {im} (1-R))^{\perp }}\mathbf {y} }
평행 이동 벡터 (영어 : translation vector )라고 한다. 이 경우 고정점 은 없다.
특히,
R
=
1
{\displaystyle R=1}
rank
(
1
−
R
)
=
0
{\displaystyle \operatorname {rank} (1-R)=0}
평행 이동 (平行移動, 영어 : translation )이라고 한다. 2차원 이하에서 모든 회전 평행 이동은 평행 이동이다. 반사 (反射, 영어 : reflection ):
R
∈
O
(
n
)
∖
SO
(
n
)
{\displaystyle R\in \operatorname {O} (n)\setminus \operatorname {SO} (n)}
y
∈
im
(
1
−
R
)
{\displaystyle \mathbf {y} \in \operatorname {im} (1-R)}
x
0
+
ker
(
1
−
R
)
{\displaystyle \mathbf {x} _{0}+\ker(1-R)}
반사 초평면 (영어 : reflection hyperplane )이라고 한다. 반사 초평면은
n
{\displaystyle n}
n
{\displaystyle n}
미끄러짐 반사 (-反射, 영어 : glide reflection ):
x
↦
R
(
x
−
x
0
)
+
x
0
+
y
⊥
{\displaystyle \mathbf {x} \mapsto R(\mathbf {x} -\mathbf {x} _{0})+\mathbf {x} _{0}+\mathbf {y} ^{\perp }}
R
∈
O
(
n
)
∖
SO
(
n
)
{\displaystyle R\in \operatorname {O} (n)\setminus \operatorname {SO} (n)}
y
⊥
∈
(
im
(
1
−
R
)
)
⊥
{\displaystyle \mathbf {y} ^{\perp }\in \left(\operatorname {im} (1-R)\right)^{\perp }}
합성 이다. 고정점 은 없다. 마찬가지로, 아핀 부분 공간
x
0
+
ker
(
1
−
R
)
{\displaystyle \mathbf {x} _{0}+\ker(1-R)}
n
{\displaystyle n}
n
{\displaystyle n}
R
=
−
1
{\displaystyle R=-1}
y
=
0
{\displaystyle \mathbf {y} =\mathbf {0} }
반전 변환 영어 : parity reversal )이라고 한다. 이는
n
{\displaystyle n}
1차원에서 회전은 항등 함수 밖에 없으며, 모든 회전 평행 이동은 평행 이동이며, 미끄러짐 반사는 존재하지 않는다. 회전축은 1차원이며, 반사 초평면은 0차원이다. 1차원 유클리드 공간을 실직선 으로 나타내면, 등거리 변환은 다음과 같은 꼴이다.
x
↦
σ
x
+
a
(
σ
∈
{
±
1
}
,
a
∈
R
)
{\displaystyle x\mapsto \sigma x+a\qquad (\sigma \in \{\pm 1\},a\in \mathbb {R} )}
σ
=
1
{\displaystyle \sigma =1}
a
=
0
{\displaystyle a=0}
항등 함수 이다. 이는 자명한 회전이다.
σ
=
1
{\displaystyle \sigma =1}
a
≠
0
{\displaystyle a\neq 0}
a
{\displaystyle a}
σ
=
−
1
{\displaystyle \sigma =-1}
{
a
/
2
}
{\displaystyle \{a/2\}}
2차원에서 모든 회전 평행 이동은 평행 이동이다. 회전축은 0차원 또는 2차원이며, 반사 초평면은 모두 1차원이다. 2차원인 경우는 항등 함수 이며, 0차원인 경우 회전축을 회전 중심 (영어 : center or rotation )이라고 한다.
2차원 유클리드 공간은 복소평면
C
{\displaystyle \mathbb {C} }
α
{\displaystyle \alpha }
절댓값 이 1인 복소수이다.
평행 이동
z
↦
z
+
w
{\displaystyle z\mapsto z+w}
w
∈
C
∖
{
0
}
{\displaystyle w\in \mathbb {C} \setminus \{0\}}
평행 이동 벡터는
w
{\displaystyle w}
회전
z
↦
α
(
z
−
z
0
)
+
z
0
{\displaystyle z\mapsto \alpha (z-z_{0})+z_{0}}
회전 각도는
α
=
exp
(
2
π
i
θ
)
{\displaystyle \alpha =\exp(2\pi i\theta )}
θ
{\displaystyle \theta }
라디안
반사
z
↦
α
(
z
¯
−
z
¯
0
)
+
z
0
{\displaystyle z\mapsto \alpha ({\bar {z}}-{\bar {z}}_{0})+z_{0}}
반사축은
z
0
+
Span
R
{
α
}
{\displaystyle z_{0}+\operatorname {Span} _{\mathbb {R} }\{{\sqrt {\alpha }}\}}
미끄러짐 반사
z
↦
α
(
z
¯
−
z
¯
0
)
+
z
0
+
α
w
{\displaystyle z\mapsto \alpha ({\bar {z}}-{\bar {z}}_{0})+z_{0}+{\sqrt {\alpha }}w}
w
∈
R
∖
{
0
}
{\displaystyle w\in \mathbb {R} \setminus \{0\}}
반사축
z
0
+
Span
R
{
α
}
{\displaystyle z_{0}+\operatorname {Span} _{\mathbb {R} }\{{\sqrt {\alpha }}\}}
α
w
{\displaystyle {\sqrt {\alpha }}w}
3차원에서, 회전의 회전축은 1차원 또는 3차원이며, 반사의 반사 초평면은 0차원 또는 2차원이다. 회전축이 3차원인 경우는 항등 함수 인 경우이다. 반사 초평면이 0차원인 경우는 회전 반사 (回轉反射, 영어 : rotoreflection )인 경우이며, 2차원인 경우는 반사 평면 (영어 : plane of reflection )이라고 한다.
유클리드 군은 반직접곱
ISO
(
n
)
=
R
n
⋊
SO
(
n
)
{\displaystyle \operatorname {ISO} (n)=\mathbb {R} ^{n}\rtimes \operatorname {SO} (n)}
R
n
{\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}
아벨 리 군 이다. 따라서, 모든 복소수 기약 표현 은
SO
(
n
)
{\displaystyle \operatorname {SO} (n)}
기약 표현 의 유도 표현 이다.구체적으로, 유클리드 대수
i
s
o
(
n
)
{\displaystyle {\mathfrak {iso}}(n)}
보편 포락 대수 의 중심 원소는 다음이 있다. 이들은 슈어 보조정리 에 따라, 기약 표현 에서 항등 함수 의 스칼라배로 표현된다.
P
2
{\displaystyle P^{2}}
m
2
{\displaystyle m^{2}}
m
{\displaystyle m}
계량 부호수 에서의 질량 에 해당한다.
W
2
{\displaystyle W^{2}}
파울리-루반스키 벡터 의 제곱 노름)
SO
(
n
)
{\displaystyle \operatorname {SO} (n)}
R
n
{\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}
작용 에서, 궤도는 카시미르 불변량
m
{\displaystyle m}
안정자군 은
m
=
0
{\displaystyle m=0}
m
>
0
{\displaystyle m>0}
m
>
0
{\displaystyle m>0}
R
n
{\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}
P
{\displaystyle \mathbf {P} }
추이적으로 작용 한다. 이러한 경우 안정자군 은
SO
(
n
−
1
)
{\displaystyle \operatorname {SO} (n-1)}
SO
(
n
−
1
)
{\displaystyle \operatorname {SO} (n-1)}
m
=
0
{\displaystyle m=0}
안정자군 은
SO
(
n
)
{\displaystyle \operatorname {SO} (n)}
SO
(
n
)
{\displaystyle \operatorname {SO} (n)}
참고 문헌
편집
↑ Beckman, F. S.; Quarles, D. A., Jr. (1953), “On isometries of Euclidean spaces”, 《Proceedings of the American Mathematical Society》 (영어) 4 : 810–815, doi :10.2307/2032415 , MR 0058193 ↑ Townsend, Carl G. (1970), “Congruence-preserving mappings”, 《Mathematics Magazine》 (영어) 43 : 37–38, doi :10.2307/2688111 , MR 0256252 ↑ Bishop, Richard L. (1973), “Characterizing motions by unit distance invariance”, 《Mathematics Magazine》 (영어) 46 : 148–151, doi :10.2307/2687969 , MR 0319026
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![{\displaystyle [P_{i},P_{j}]=0}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/98fc7c4a468ce7fa72d4ce1a447632324337ff52)
![{\displaystyle [J_{ij},P_{k}]=i\left(\delta _{ik}P_{j}-\delta _{jk}P_{i}\right)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/eaf07b5674053d5974e90299698af4f36cc6dd57)
![{\displaystyle [J_{ij},J_{kl}]=i\left(\delta _{ik}J_{jl}-\delta _{il}J_{jk}-\delta _{jk}J_{il}+\delta _{jl}J_{ik}\right)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/4ba74e7d029ee71a7ffdbc6f4ec13ce46bc8a680)
