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소수 (기수법)

(유한 소수에서 넘어옴)

수학에서, 소수(小數, 영어: decimal)는 각각의 자리에 놓인 숫자소수점을 통해 나타낸 실수이다. 소수점 왼쪽에 놓인 숫자들은 실수의 정수 부분, 소수점 오른쪽에 놓인 숫자들은 실수의 소수 부분을 나타낸다.

정의편집

음이 아닌 실수  의 소수 표기는 다음과 같은 꼴이다.

 

여기서 각  에 대하여,  는 0부터 9까지의 숫자 가운데 하나이다. 음의 실수의 경우, 왼쪽에 부호를 붙여준다. 또한, 만약 어떤  번째 자릿수  부터

 

가 성립한다면, 이러한 끝쪽의 0들을 생략하여 다음과 같이 표기할 수 있다.

 

엄밀히 말해, 소수는 극한의 개념을 통해 정의된다. 즉, 위의 표기가 실수의 소수 표기가 되려면, 다음과 같은 급수 공식을 만족시켜야 한다.

 

또한, 표준적인 소수 표기는 다음을 추가로 만족시켜야 한다.

  •   이 존재하지 않는다.

즉, 만약 맨 끝에 숫자 9가 끝없이 반복된다면 이를 올림하여야 한다. 예를 들어, 0.999... = 1이며, 1.234999... = 1.235이다. 간혹 올림하여 얻는 표기 대신 끝에 9가 붙은 표기를 표준으로 간주하기도 한다.

유리수의 소수 표기는 유한하거나, 무한하지만 순환한다. 그 예는 다음과 같다.

 
 

무리수의 소수 표기는 무한하며 비순환이다. 그 예는 다음과 같다.

 
 

종류편집

소수는 자릿수들의 열의 성질에 따라 다음과 같이 나뉜다.

유한 소수편집

소수점 아랫자리가 유한한 수를 유한 소수(有限小數, 영어: finite decimal)라고 한다. 모든 유한 소수는 유리수이다.

십진법이십진법에서는 만약 기약 분수의 분모가   ( 은 음이 아닌 정수) 꼴이라면, 그 기약 분수는 유한 소수이다. 반대로 만약 기약 분수의 분모가   ( 은 음이 아닌 정수) 꼴이 아니라면, 그 기약 분수는 유한 소수가 아니다.

마찬가지로, 육진법십이진법에서는 만약 기약 분수의 분모가   ( 은 음이 아닌 정수) 꼴이라면, 그 기약 분수는 유한 소수이다. 반대로 만약 기약 분수의 분모가   ( 은 음이 아닌 정수) 꼴이 아니라면, 그 기약 분수는 유한 소수가 아니다.

유한 소수의 예는 다음과 같다.

십진법
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
육진법
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 

보다 일반적으로,  진법 소수 표기에서, 어떤 기약 분수가 유한 소수일 필요충분조건은 분모의 모든 소인수가  의 소인수인 것이다.

순환 소수편집

소수점 아래에서 어떤 숫자들의 유한 열이 무한히 반복되는 소수를 순환 소수(循環小數, 영어: repeating decimal)라고 한다. 어떤 수가 순환 소수로 나타낼 수 있을 필요충분조건은 유리수이다. 무한 순환 소수의 예는 다음과 같다.

십진법
 
 
 
 
 
 
 
 
육진법
 
 
 
 
 

비순환 소수편집

순환 소수가 아닌 소수를 비순환 소수(非循環小數, 영어: non-repeating decimal)라고 한다.어떤 수가 비순환 소수로 나타낼 수 있을 필요충분조건은 무리수이다. 비순환 소수의 예는 다음과 같다. 이 경우는 십진법 (소인수25) 이든 육진법 (소인수가 2 와 3) 이든 기타 위치 기수법을 사용하여도 무한에 따른다.

십진 표기
 
 
 
육진 표기
 
 
 

응용편집

실수와 그 소수 표기 사이의 대응을 생각하면, 실수의 집합의 크기가 숫자의 열의 집합의 크기와 같으며, 특히 자연수의 집합의 크기보다 큼을 알 수 있다.

실수의 소수 표기는 실수의 구성에 쓰일 수 있다.