은 비율

은 비율 또는 백은비(白銀比 , Silver ratio)란 두 수중 작은 수의 두 배 그리고 큰 수의 합과 작은 수의 비가 작은 수와 큰 수의 비율과 일치할 때의 비율을 말한다. 그 값은 1에 루트 2를 더한 것으로 약 2.4142135623이다.

대수적으로 정의하면 다음과 같다.

${\frac {2a+b}{a}}={\frac {a}{b}}\equiv \delta _{S}$

또는

$2+{\frac {b}{a}}={\frac {a}{b}}\equiv \delta _{S}$

은 비율은 다음과 같은 간단한 연분수 형태로도 표시할 수 있다.

$2+{\cfrac {1}{2+{\cfrac {1}{2+{\cfrac {1}{2+\ddots }}}}}}=\delta _{S}$

황금비가 피보나치 수열의 비율의 극한값인 것과 마찬가지로 펠 수열의 비율의 극한값은 은 비율과 같다.

수학적 성질

백은비율 직사각형

백은비(은 비율)은 ${\sqrt {2}}$와 관련된 수학 상수로서 $1+{\sqrt {2}}$이다.

$1:1+{\sqrt {2}}$

로 그 비율이 표현된다.

백은비율$(\delta _{S})={{a} \over {b}}={{2a+b} \over {a}}$

수론및 대수학에서 큰 경우의 양($a$)에대한 작은 경우의 양($b$)과의 두 비율이 작은 양과 큰 양의 두 배가 더하여진 경우에대한 큰 양의 비율과 같으면 이것은 백은 비율 (백은비 평균 또는 백은비 상수)이 된다. 이것으로 백은 비율을 무리수인 수학 상수로 정의하며,

백은비율$(\delta _{S})={{2a+b} \over {a}}={{a} \over {b}}$

$2+{{b} \over {a}}={{a} \over {b}}=\delta _{S}$

$2+{{1} \over {\delta _{S}}}=\delta _{S}$

$2\delta _{S}+1={\delta _{S}}^{2}$

${\delta _{S}}^{2}-2\delta _{S}-1=0$

${\delta _{S}}^{2}-2\delta _{S}-1=(\delta _{S}-1)^{2}-2$

따라서

$(\delta _{S}-1)^{2}=2$

${\sqrt {(\delta _{S}-1)^{2}}}={\sqrt {2}}$

$\delta _{S}-1={\sqrt {2}}$

$\delta _{S}=1+{\sqrt {2}}$

따라서

$\delta _{S}=1+{\sqrt {2}}=2.41421356237\dots$

수학자 들은 2의 제곱근 그리고 그 수렴, 정사각수이면서 삼각수인 사각 삼각 수, 펠 (Pell) 수, 팔각형 등의 연결 문제 때문에 그리스 시대 이후 백은 비율을 연구했다.

황금비율과 백은비율의 유사성

황금비율

${{a+b} \over {a}}={{a} \over {b}}=\varphi$

백은비율

${{2a+b} \over {a}}={{a} \over {b}}=\delta _{S}$

도형속의 백은비

	$\qquad$
$\qquad$정팔각형에서의 백은비	$\qquad$

• 황금비
• 펠 방정식
• 금강비(닮음비)
• ${\sqrt {2}}$

참고

• (매스월드)https://web.archive.org/web/20181227073003/http://mathworld.wolfram.com/SilverRatio.html
• (OEIS)http://oeis.org/A014176
• (OEIS)http://oeis.org/A179807