군
G
{\displaystyle G}
의 두 부분군
H
,
K
≤
G
{\displaystyle H,K\leq G}
에 대하여, 이중 잉여류의 집합
H
∖
G
/
K
{\displaystyle H\backslash G/K}
는
G
{\displaystyle G}
의 분할 을 이룬다. 즉, 임의의
g
,
g
′
∈
G
{\displaystyle g,g'\in G}
에 대하여,
H
g
K
=
H
g
′
K
{\displaystyle HgK=Hg'K}
이거나
H
g
K
∩
H
g
′
K
=
∅
{\displaystyle HgK\cap Hg'K=\varnothing }
이다.
군
G
{\displaystyle G}
의 두 부분군
H
,
K
≤
G
{\displaystyle H,K\leq G}
에 대하여,
|
H
∖
G
/
K
|
=
|
K
∖
G
/
H
|
{\displaystyle |H\backslash G/K|=|K\backslash G/H|}
이다. 즉, 두 부분군에 대한 이중 잉여류의 수와 순서를 교환한 두 부분군에 대한 이중 잉여류의 수는 같다.
다음과 같은 함수를 생각하자.
H
∖
G
/
K
→
K
∖
G
/
H
{\displaystyle H\backslash G/K\to K\backslash G/H}
H
g
K
↦
K
g
−
1
H
{\displaystyle HgK\mapsto Kg^{-1}H}
그렇다면, 이는 자명하게 전단사 함수 이므로, 정의역과 공역의 크기는 같다.
군
G
{\displaystyle G}
의 두 부분군
H
,
K
≤
G
{\displaystyle H,K\leq G}
및 군의 원소
g
∈
G
{\displaystyle g\in G}
에 대하여, 이중 잉여류
H
g
K
{\displaystyle HgK}
의 크기 는
|
H
g
K
|
=
|
H
|
|
K
|
|
H
∩
g
K
g
−
1
|
{\displaystyle |HgK|={\frac {|H||K|}{|H\cap gKg^{-1}|}}}
이다.
|
H
g
K
|
=
|
H
(
g
K
g
−
1
)
|
=
|
H
|
|
g
K
g
−
1
|
|
H
∩
g
K
g
−
1
|
=
|
H
|
|
K
|
|
H
∩
g
K
g
−
1
|
{\displaystyle |HgK|=|H(gKg^{-1})|={\frac {|H||gKg^{-1}|}{|H\cap gKg^{-1}|}}={\frac {|H||K|}{|H\cap gKg^{-1}|}}}