이중 잉여류

군론에서 이중 잉여류(二重剩餘類, 영어: double coset)는 주어진 두 부분군에 의하여 결정되는 동치 관계에 대한 동치류이다.

정의

군 $G$의 두 부분군 $H,K\leq G$ 및 군의 원소 $g\in G$에 대하여, $H$와 $K$에 대한 $g$의 이중 잉여류는 다음과 같다.

$HgK=\{hgk\colon h\in H,\;k\in K\}$

특히, $H$가 자명 부분군일 경우 이는 $K$에 대한 $g$의 오른쪽 잉여류 $gK$이며, $K$가 자명 부분군일 경우 이는 $H$에 대한 $g$의 왼쪽 잉여류 $Hg$이다. $H$와 $K$가 모두 $G$의 정규 부분군일 경우, $H$와 $K$에 대한 이중 잉여류와 $K$와 $H$에 대한 이중 잉여류는 일치한다. $G$ 속 $H$와 $K$에 대한 이중 잉여류의 집합은 $H\backslash G/K$로 표기한다.

성질

군 $G$의 두 부분군 $H,K\leq G$에 대하여, 이중 잉여류의 집합 $H\backslash G/K$는 $G$의 분할을 이룬다. 즉, 임의의 $g,g'\in G$에 대하여, $HgK=Hg'K$이거나 $HgK\cap Hg'K=\varnothing$이다.

군 $G$의 두 부분군 $H,K\leq G$에 대하여, $|H\backslash G/K|=|K\backslash G/H|$이다. 즉, 두 부분군에 대한 이중 잉여류의 수와 순서를 교환한 두 부분군에 대한 이중 잉여류의 수는 같다.

증명:

다음과 같은 함수를 생각하자.

$H\backslash G/K\to K\backslash G/H$

$HgK\mapsto Kg^{-1}H$

그렇다면, 이는 자명하게 전단사 함수이므로, 정의역과 공역의 크기는 같다.

군 $G$의 두 부분군 $H,K\leq G$ 및 군의 원소 $g\in G$에 대하여, 이중 잉여류 $HgK$의 크기는

$|HgK|={\frac {|H||K|}{|H\cap gKg^{-1}|}}$

이다.

증명:

$|HgK|=|H(gKg^{-1})|={\frac {|H||gKg^{-1}|}{|H\cap gKg^{-1}|}}={\frac {|H||K|}{|H\cap gKg^{-1}|}}$

외부 링크

• “Double coset of a pair of subgroups”. 《Groupprops》 (영어).