이중 장론

이론물리학에서 이중 장론(二重場論, 영어: double field theory, DFT)은 끈 이론에서 유래하는 고전적 중력 이론의 일종이다. 이 이론은 중력장과 2차 미분 형식 게이지장을 포함하며, T-이중성을 만족시킨다. T-이중성을 만족시키기 위하여, $d$차원 시공간을 묘사하기 위하여 $2d$차원의 매끄러운 다양체를 사용한다.

전개

시공간

일반적으로, 다음과 같은 데이터를 생각하자.

• $D$차원 실수 벡터 공간 $V$ 및 그 위의 비퇴화 이차 형식 $\eta \colon V\to \mathbb {R}$
• 두 리 군 $H\leq G\leq \operatorname {GL} (V;\mathbb {R} )$. 또한, 다음 가환 그림이 성립한다고 하자.

  ${\begin{matrix}H&\to &G\\\downarrow &&\downarrow \\\operatorname {O} (V,\eta )&\to &\operatorname {GL} (V;\mathbb {R} )\end{matrix}}$

• $D$차원 매끄러운 다양체 $M$ 및 그 접다발의 구조군 $G$. 즉, 어떤 $G$-주다발 (틀다발) $F_{G}$ 및 벡터 다발의 동형 사상 $F_{G}\times _{G}\mathbb {R} ^{N}\to \mathrm {T} M$이 주어져 있다.
• 접다발의, $H$로의 구조 축소. 즉, $H$-주다발 $F_{H}$ 및 벡터 다발의 동형 사상 $E\colon F_{H}\times _{H}V\to \mathrm {T} M$.

$M$의 접다발 지표를 $M,N,\dotsc$, $V$의 지표를 $A,B,\dotsc$로 표기하면, $E$의 데이터는 각 점에서 국소적으로 다음과 같다.

$\mathrm {T} _{x}M\to V$

$X^{M}\mapsto E_{M}^{A}X^{M}$

이제, $E$는 다음과 같은 준 리만 다양체 구조 $G_{MN}$를 정의한다. (그 부호수는 $\eta$의 부호수와 같다.)

$G_{MN}=\eta _{AB}E_{M}^{A}E_{N}^{B}$

이제, $E$에 다음과 같은 $H$-게이지 대칭을 부여하자.

$E^{A}{}_{M}\mapsto T^{A}{}_{B}E_{M}^{B}\qquad (T\in {\mathcal {C}}^{\infty }(M,H))$

그렇다면, $E$는 각 점에서 물리적으로 동차 공간

${\frac {G}{H}}$

의 원소를 나타내게 된다. 또한, 계량 텐서 $G_{MN}$는 ($H\leq \operatorname {O} (V,Q)$이므로) 게이지 불변이다.

이제, 위 구성에서 다음과 같은 특수한 경우를 생각할 수 있다.

이론	$G$	$H$	$\dim _{\mathbb {R} }(G/H)$	물리적 해석
일반 상대성 이론	$\operatorname {GL} (D;\mathbb {R} )$	$\operatorname {O} (1,D-1)$	$D(D+1)/2$	로런츠 계량 텐서 $G_{MN}$
이중 장론 ($D=2d$)	$\operatorname {O} (d,d)$	$\operatorname {O} (1,d-1)\times \operatorname {O} (1,d-1)$	$d^{2}$	$d$차원 계량 텐서 및 $d$차원 2차 미분 형식

즉, $G/H=\operatorname {GL} (D)/\operatorname {O} (1,D-1)$인 경우는 $D$차원 일반 상대성 이론의 필바인에 해당한다. 반면, $G/H=\operatorname {O} (d,d)/\operatorname {O} (1,d-1)^{2}$인 경우, 이는 $d^{2}$개의 성분을 가지며, 이는 $d\times d$ 대칭 행렬(중력장)과 $d\times d$ 반대칭 행렬(캘브-라몽 장)로 분해될 수 있다.

계량의 분해

구체적으로, 필바인 $E_{M}^{A}$에 의하여 정의되는 계량 텐서

$G_{MN}=\eta _{AB}E_{M}^{A}E_{N}^{B}$

를 생각하자. 물리적으로, 이는 중력장과 캘브-라몽 장을 나타낸다.

편의상, $\eta _{AB}$를 다음과 같이 만드는 게이지를 선택하자.

$\eta ={\begin{pmatrix}0&1_{d\times d}\\1_{d\times d}&0\end{pmatrix}}$

즉, 이는 분해

$V=V_{+}\oplus V_{-}$

$\dim V_{+}=\dim V_{-}=d$

$\eta _{\pm }\colon V_{\pm }\to V_{\mp }^{*}$

를 정의한다. (물론, 이러한 게이지는 일반적으로 유일하지 않다.)

$V$는 매끄러운 다양체 $M$의 국소 모형이므로, 이는 마찬가지로 각 점에서 접공간 $\mathrm {T} _{x}M$의 마찬가지 분해

$\mathrm {T} M=\mathrm {T} ^{+}M\oplus \mathrm {T} ^{-}M$

를 정의한다.

이러한 게이지에서, $\operatorname {O} (d,d)$의 원소

$H^{N}{}_{P}\in \operatorname {O} (d,d)$

$\eta _{MN}H^{N}{}_{P}={\begin{pmatrix}g^{-1}&-g^{-1}b\\bg^{-1}&g-bg^{-1}b\end{pmatrix}}\in \operatorname {O} (d,d)$

를 정의할 수 있다. 여기서, $g$는 중력장을 나타내며, $b$는 2차 미분 형식인 캘브-라몽 장이다.

이 시공간에서는 일반적으로 공변 미분이 존재하지 않는다. 더 엄밀히 말하자면, $\eta$ 및 $H$와 호환되는 코쥘 접속의 개념을 도입할 수 있지만,^:§4.2 크리스토펠 기호의 모든 성분이 물리학적 의미를 갖는 일반 상대성 이론과 달리 이 접속은 물리학적으로 결정되지 않는 성분들을 포함하며,^{:§4.2, Table 1} 이에 따라 임의의 선택이 필요하다. 이에 대한 리만 곡률도 마찬가지다.

필바인

일반 상대성 이론과 마찬가지로, 다음과 같이 필바인을 도입할 수 있다.^{:(3.52), (3.53)} 필바인은 다음과 같은 동차 공간의 원소이다.

$E\in {\frac {\operatorname {O} (d,d)}{\operatorname {O} (1,D-1)\times \operatorname {O} (1,d-1)}}$

여기서 $\operatorname {O} (1,d-1)\times \operatorname {O} (1,d-1)$은 $\operatorname {O} (d,d)$의 블록 대각 행렬 부분군이다.

즉, 이는 대표원

$E_{M}^{A}\in \operatorname {O} (d,d)$

에 의하여 결정되며, 이는 게이지 변환

$E_{M}^{A}\mapsto L^{A}{}_{B}E_{M}^{A}\qquad (L^{A}{}_{B}\in \operatorname {O} (1,D-1)\times \operatorname {O} (1,D-1))$

을 겪는다. 여기서 $A,B,\dotsc$는 필바인 지표를 뜻한다. 이 대표원에 대응되는 리만 계량 텐서는

$H_{MN}=E^{A}{}_{M}H_{AB}E^{B}{}_{N}$

이다.

필바인이 주어졌다면, 다음과 같은 일반화 바이첸뵈크 접속(영어: generalized Weitzenböck connection)을 정의할 수 있다.^:(3.59)

$\Omega _{ABC}=-\Omega _{ACB}=E_{A}{}^{M}\partial _{M}(E_{B}{}^{N}E_{C}{}^{P}\eta _{PN})$

작용

이중 장론에서는 다음과 같은 작용을 사용한다.^:(3.60)

$S=\int \mathrm {d} ^{2D}x\,\exp(-2\phi )(S_{1}+S_{2})$

여기서

$S_{1}=9\Omega _{[ABC]}\Omega _{[DEF]}\left({\frac {1}{4}}H^{AD}\eta ^{BE}\eta ^{CF}-{\frac {1}{12}}H^{AD}H^{BE}H^{CF}-{\frac {1}{6}}\eta ^{AD}\eta ^{BE}\eta ^{CF}\right)+\exp(2\phi )(\eta ^{AB}-H^{AB})$

$S_{2}=F_{A}F_{B}(\eta ^{AB}-H^{AB})$

$F_{A}=\eta ^{BC}\Omega _{BCA}+2E_{A}{}^{M}\partial _{M}\phi$

여기서 $\phi$는 딜라톤 스칼라장이다. 이는 $M$ 위의, $\operatorname {O} (d,d)$ 구조를 보존하는 미분 동형 사상들을 대칭으로 갖는다.

장방정식

위 작용의 오일러-라그랑주 방정식은 다음과 같다.^:(3.81)

$S_{1}=0$

$2(H^{C[A}-\eta ^{D[C})\partial ^{B]}F_{C}+(F_{C}-\partial -C)F^{C[AB]}+F^{CD[A}F_{CDE}\eta ^{B]E}=0$

이들은 각각 $\phi$ 및 $E_{A}{}^{M}$에 대한 오일러-라그랑주 방정식이다.

단면 조건

$M$ 위의 장들은 $2d$ 차원의 매끄러운 다양체 위에 정의된다. 실제 시공간은 $d$차원이므로, 올바른 수의 자유도를 갖추기 위하여 조건을 부여해야 한다. 이는 단면 조건(영어: section condition)이라고 하며, 스칼라장 $\Phi$에 대하여 다음과 같은 꼴이다.^{:(3.29), (3.30)}

$\eta ^{MN}\partial _{M}\partial _{N}\Phi =0$

역사

워런 시걸(영어: Warren Siegel)이 1993년에 도입하였다.

외부 링크

• “Double field theory”. 《nLab》 (영어). 
• “T-fold”. 《nLab》 (영어).