특수한 그래프의 경우, 이징 모형의 해를 해석적으로 구할 수 있다.
만약
Γ
=
K
¯
N
{\displaystyle \Gamma ={\bar {\mathsf {K}}}_{N}}
가
N
{\displaystyle N}
개의 꼭짓점 을 갖는 무변 그래프 라고 하자. 그렇다면,
Z
Γ
(
β
;
h
)
=
∑
σ
∈
{
±
1
}
N
exp
(
σ
i
h
i
)
=
∏
i
=
1
N
(
2
cosh
h
i
)
{\displaystyle Z_{\Gamma }(\beta ;h)=\sum _{\sigma \in \{\pm 1\}^{N}}\exp(\sigma _{i}h_{i})=\prod _{i=1}^{N}(2\cosh h_{i})}
이다. 이 경우 헬름홀츠 자유 에너지 는
F
Γ
=
−
1
β
ln
Z
Γ
=
−
1
β
(
N
ln
2
+
∑
i
=
1
N
ln
cosh
h
i
)
{\displaystyle F_{\Gamma }=-{\frac {1}{\beta }}\ln Z_{\Gamma }=-{\frac {1}{\beta }}\left(N\ln 2+\sum _{i=1}^{N}\ln \cosh h_{i}\right)}
이다.
즉,
⟨
σ
i
⟩
=
−
∂
∂
h
i
ln
Z
=
tanh
h
i
{\displaystyle \langle \sigma _{i}\rangle =-{\frac {\partial }{\partial h_{i}}}\ln Z=\tanh h_{i}}
이다.
임의의 그래프 위의 이징 모형에서,
β
→
0
{\displaystyle \beta \to 0}
일 때 (즉, 고온 극한) 이는 무변 그래프로 수렴한다.
만약
Γ
=
K
N
{\displaystyle \Gamma ={\mathsf {K}}_{N}}
가
N
{\displaystyle N}
개의 꼭짓점 을 갖는 완전 그래프 라고 하자. (이 경우를 만약 다른 그래프의 근사로 여길 때 평균장 근사 平均場近似, 영어 : mean-field approximation 라고 한다.)
편의상,
β
{\displaystyle \beta }
와
h
{\displaystyle h}
가 상수 함수 라고 가정하자. 이 경우, +값의 스핀의 수를
n
=
∑
i
σ
i
+
1
2
{\displaystyle n=\sum _{i}{\frac {\sigma _{i}+1}{2}}}
으로 적으면,
∑
i
σ
i
=
2
n
−
N
{\displaystyle \sum _{i}\sigma _{i}=2n-N}
exp
(
β
∑
i
j
σ
i
σ
j
)
=
exp
(
β
(
2
n
−
N
)
2
/
2
−
N
β
/
2
)
{\displaystyle \exp(\beta \sum _{ij}\sigma _{i}\sigma _{j})=\exp \left(\beta (2n-N)^{2}/2-N\beta /2\right)}
exp
(
β
∑
i
j
σ
i
σ
j
+
h
∑
i
σ
i
)
=
exp
(
β
(
2
n
−
N
)
2
/
2
−
β
N
/
2
+
h
(
2
n
−
N
)
)
{\displaystyle \exp \left(\beta \sum _{ij}\sigma _{i}\sigma _{j}+h\sum _{i}\sigma _{i}\right)=\exp(\beta (2n-N)^{2}/2-\beta N/2+h(2n-N))}
가 된다. 즉,
Z
K
N
(
β
,
h
)
=
exp
(
−
1
2
β
N
)
∑
n
=
0
N
(
n
N
)
exp
(
1
2
β
(
2
n
−
N
)
2
+
h
(
2
n
−
N
)
)
{\displaystyle Z_{{\mathsf {K}}_{N}}(\beta ,h)=\exp \left(-{\frac {1}{2}}\beta N\right)\sum _{n=0}^{N}{\binom {n}{N}}\exp \left({\frac {1}{2}}\beta (2n-N)^{2}+h(2n-N)\right)}
이다.
열역학적 극한은
N
→
∞
{\displaystyle N\to \infty }
β
∝
1
/
N
{\displaystyle \beta \propto 1/N}
이다. 이 경우, 변수
x
=
2
n
/
N
−
1
{\displaystyle x=2n/N-1}
b
=
N
β
{\displaystyle b=N\beta }
를 정의하면, 분배 함수는 다음과 같다.
Z
K
N
≈
1
2
N
exp
(
−
β
N
/
2
)
∫
1
1
d
x
exp
(
N
S
(
x
;
β
,
h
)
)
{\displaystyle Z_{{\mathsf {K}}_{N}}\approx {\frac {1}{2}}N\exp(-\beta N/2)\int _{1}^{1}\mathrm {d} x\exp(NS(x;\beta ,h))}
S
(
x
;
β
,
h
)
=
−
1
2
(
1
+
x
)
ln
(
1
+
x
)
−
1
2
(
1
−
x
)
ln
(
1
−
x
)
+
l
n
2
+
1
2
b
x
2
+
h
x
{\displaystyle S(x;\beta ,h)=-{\frac {1}{2}}(1+x)\ln(1+x)-{\frac {1}{2}}(1-x)\ln(1-x)+ln2+{\frac {1}{2}}bx^{2}+hx}
만약
S
{\displaystyle S}
가 하나의 최댓값 을 가지는 경우, 이는 라플라스 방법 으로 근사할 수 있다.
S
{\displaystyle S}
의 최댓값의 위치는
0
=
|
∂
S
∂
x
|
x
=
x
0
=
−
artanh
(
x
0
)
+
b
x
0
+
h
{\displaystyle 0=\left|{\frac {\partial S}{\partial x}}\right|_{x=x_{0}}=-\operatorname {artanh} (x_{0})+bx_{0}+h}
이므로
h
=
artanh
(
x
0
)
−
b
x
0
{\displaystyle h=\operatorname {artanh} (x_{0})-bx_{0}}
이다.
S
{\displaystyle S}
의 최댓값 근처의 폭은
−
S
″
(
X
0
;
β
,
h
)
=
1
2
(
1
1
+
x
0
+
1
1
−
x
0
)
−
b
{\displaystyle -S''(X_{0};\beta ,h)={\frac {1}{2}}\left({\frac {1}{1+x_{0}}}+{\frac {1}{1-x_{0}}}\right)-b}
에 의하여 주어진다. 따라서 분배 함수는
ln
Z
K
N
(
b
/
N
,
h
)
=
1
2
ln
(
2
π
N
)
−
1
2
b
−
1
2
ln
(
−
S
″
(
x
0
(
b
,
h
)
;
b
,
h
)
)
+
N
S
(
x
0
(
b
,
h
)
;
b
,
h
)
+
o
(
1
)
{\displaystyle \ln Z_{{\mathsf {K}}_{N}}(b/N,h)={\frac {1}{2}}\ln(2\pi N)-{\frac {1}{2}}b-{\frac {1}{2}}\ln(-S''(x_{0}(b,h);b,h))+NS(x_{0}(b,h);b,h)+o(1)}
가 된다.
이 경우 평균 스핀은 다음과 같다.
⟨
σ
⟩
=
1
N
∂
ln
N
∂
h
=
x
0
(
b
,
h
)
−
1
2
N
∂
∂
h
ln
(
−
S
″
(
x
0
(
b
,
h
)
;
b
,
h
)
)
+
o
(
1
/
N
)
{\displaystyle \langle \sigma \rangle ={\frac {1}{N}}{\frac {\partial \ln N}{\partial h}}=x_{0}(b,h)-{\frac {1}{2N}}{\frac {\partial }{\partial h}}\ln(-S''(x_{0}(b,h);b,h))+o(1/N)}
첫째 항만을 남기고,
h
{\displaystyle h}
에 대하여 풀면 상태 방정식
b
⟨
σ
⟩
+
artanh
⟨
σ
⟩
=
h
{\displaystyle b\langle \sigma \rangle +\operatorname {artanh} \langle \sigma \rangle =h}
을 얻는다.
이 근사가 잘 성립하려면 (즉,
S
{\displaystyle S}
가 한 점에서 최댓값 을 갖는다면), 함수
(
−
1
,
+
1
)
→
R
{\displaystyle (-1,+1)\to \mathbb {R} }
x
↦
artanh
x
−
b
x
{\displaystyle x\mapsto \operatorname {artanh} x-bx}
가 치역의 값
h
{\displaystyle h}
근처에서 단사 함수 이어야 한다. 이것이 항상 성립할 필요 충분 조건 은
b
≤
1
{\displaystyle b\leq 1}
이다. 만약
b
>
1
{\displaystyle b>1}
일 경우,
|
h
|
{\displaystyle |h|}
가 충분히 작다면 이 함수는 세 개의 원상 을 갖는다. 이 경우,
S
{\displaystyle S}
의 세 개의 임계점 가운데
S
{\displaystyle S}
의 값이 가장 큰 것을 골라야 한다. 물리학적으로, 이는
b
=
1
{\displaystyle b=1}
에서 일어나는 2차 상전이 를 나타낸다. 완전 그래프를 강자성체의 평균장 근사로 여길 경우, 이는 퀴리 온도
T
=
ϵ
/
k
B
{\displaystyle T=\epsilon /k_{\mathrm {B} }}
에 해당한다.[ 2] :44, (3.2.3)
만약
Γ
=
C
N
{\displaystyle \Gamma ={\mathsf {C}}_{N}}
가
N
{\displaystyle N}
개의 꼭짓점 을 갖는 순환 그래프 라고 하자. 이 경우
exp
(
∑
i
=
1
∞
β
i
σ
i
σ
i
+
1
+
∑
i
h
i
σ
i
)
=
∏
i
=
1
N
V
(
σ
i
,
σ
i
+
1
;
β
i
,
h
i
,
h
i
+
1
)
{\displaystyle \exp(\sum _{i=1}^{\infty }\beta _{i}\sigma _{i}\sigma _{i+1}+\sum _{i}h_{i}\sigma _{i})=\prod _{i=1}^{N}V(\sigma _{i},\sigma _{i+1};\beta _{i},h_{i},h_{i+1})}
V
(
σ
,
σ
′
;
β
,
h
,
h
′
)
=
exp
(
β
σ
σ
′
+
1
2
h
σ
+
1
2
h
′
σ
′
)
{\displaystyle V(\sigma ,\sigma ';\beta ,h,h')=\exp \left(\beta \sigma \sigma '+{\frac {1}{2}}h\sigma +{\frac {1}{2}}h'\sigma '\right)}
이다. 이는 2×2 대칭 행렬
V
(
β
,
h
,
h
′
)
=
(
exp
(
h
/
2
+
h
′
/
2
+
β
)
exp
(
h
/
2
+
h
′
/
2
−
β
)
exp
(
−
h
/
2
+
h
′
/
2
−
β
)
exp
(
−
h
/
2
−
h
′
/
2
+
β
)
)
{\displaystyle V(\beta ,h,h')={\begin{pmatrix}\exp(h/2+h'/2+\beta )&\exp(h/2+h'/2-\beta )\\\exp(-h/2+h'/2-\beta )&\exp(-h/2-h'/2+\beta )\end{pmatrix}}}
로 표현될 수 있다. 그렇다면
Z
=
tr
∏
i
=
1
N
−
1
V
(
β
i
;
h
i
,
h
i
+
1
)
{\displaystyle Z=\operatorname {tr} \prod _{i=1}^{N-1}V(\beta _{i};h_{i},h_{i+1})}
이다.
만약
β
{\displaystyle \beta }
와
h
{\displaystyle h}
가 상수 함수 라면, 모든
V
(
β
i
;
h
i
,
h
i
+
1
)
{\displaystyle V(\beta _{i};h_{i},h_{i+1})}
들이 같아지며, 이 경우
Z
=
λ
1
(
V
)
N
+
λ
2
(
V
)
N
{\displaystyle Z=\lambda _{1}(V)^{N}+\lambda _{2}(V)^{N}}
이 된다. 여기서
λ
1
{\displaystyle \lambda _{1}}
,
λ
2
{\displaystyle \lambda _{2}}
는
V
{\displaystyle V}
의 두 (실수) 고윳값 이다.
유한 나무 그래프
T
{\displaystyle T}
가 주어졌다고 하자. 이 경우, 어떤 임의의 꼭짓점
i
0
∈
V
(
T
)
{\displaystyle i_{0}\in {\mathsf {V}}(T)}
을 고르자. 그렇다면 모든 꼭짓점
i
{\displaystyle i}
에 대하여,
i
0
{\displaystyle i_{0}}
까지의 최단 경로 의 길이
ℓ
(
i
,
i
0
)
{\displaystyle \ell (i,i_{0})}
를 정의할 수 있다. 모든 꼭짓점
i
∈
V
(
T
)
{\displaystyle i\in {\mathsf {V}}(T)}
에 대하여, 만약
i
≠
i
0
{\displaystyle i\neq i_{0}}
라면,
ℓ
(
prec
(
i
)
,
i
0
)
+
1
=
ℓ
(
i
,
i
0
)
{\displaystyle \ell (\operatorname {prec} (i),i_{0})+1=\ell (i,i_{0})}
prec
(
i
)
i
∈
E
(
T
)
{\displaystyle \operatorname {prec} (i)i\in {\mathsf {E}}(T)}
인
prec
(
i
)
∈
V
(
T
)
{\displaystyle \operatorname {prec} (i)\in {\mathsf {V}}(T)}
가 유일하게 존재한다.
그렇다면, 스핀
σ
i
{\displaystyle \sigma _{i}}
대신 다음과 같은 새 변수들을 정의할 수 있다.
τ
~
i
0
=
σ
i
0
{\displaystyle {\tilde {\tau }}_{i_{0}}=\sigma _{i_{0}}}
τ
~
i
=
σ
v
σ
prec
(
i
)
{\displaystyle {\tilde {\tau }}_{i}=\sigma _{v}\sigma _{\operatorname {prec} (i)}}
또한, 임의의
β
:
E
(
T
)
→
R
{\displaystyle \beta \colon {\mathsf {E}}(T)\to \mathbb {R} }
h
:
V
(
T
)
→
R
{\displaystyle h\colon {\mathsf {V}}(T)\to \mathbb {R} }
에 대하여,
β
~
:
E
(
T
)
→
R
{\displaystyle {\tilde {\beta }}\colon {\mathsf {E}}(T)\to \mathbb {R} }
h
~
:
V
(
T
)
→
R
{\displaystyle {\tilde {h}}\colon {\mathsf {V}}(T)\to \mathbb {R} }
β
~
prec
(
i
)
i
=
h
i
{\displaystyle {\tilde {\beta }}_{\operatorname {prec} (i)i}=h_{i}}
h
~
i
=
{
β
prec
(
i
)
i
i
≠
i
0
h
i
0
i
=
i
0
{\displaystyle {\tilde {h}}_{i}={\begin{cases}\beta _{\operatorname {prec} (i)i}&i\neq i_{0}\\h_{i_{0}}&i=i_{0}\end{cases}}}
그렇다면,
σ
↔
σ
~
{\displaystyle \sigma \leftrightarrow {\tilde {\sigma }}}
변환 아래 다음이 성립한다.
Z
T
(
β
,
h
)
=
Z
T
(
β
~
,
h
~
)
{\displaystyle Z_{T}(\beta ,h)=Z_{T}({\tilde {\beta }},{\tilde {h}})}
특히, 만약
h
i
=
{
0
i
≠
i
0
h
i
i
=
i
0
{\displaystyle h_{i}={\begin{cases}0&i\neq i_{0}\\h_{i}&i=i_{0}\end{cases}}}
인 경우
β
~
=
0
{\displaystyle {\tilde {\beta }}=0}
이므로 다음과 같다.
Z
T
(
β
,
h
)
=
Z
T
(
0
,
h
~
)
=
(
2
cosh
exp
h
i
0
)
∏
i
j
∈
E
(
T
)
(
2
cosh
β
i
j
)
{\displaystyle Z_{T}(\beta ,h)=Z_{T}(0,{\tilde {h}})=(2\cosh \exp h_{i_{0}})\prod _{ij\in {\mathsf {E}}(T)}(2\cosh \beta _{ij})}
나무 그래프
T
{\displaystyle T}
에서 원점
i
0
∈
V
(
T
)
{\displaystyle i_{0}\in {\mathsf {V}}(T)}
을 골랐을 때, 다음과 같은 꼴이라고 하자.
원점
i
0
∈
V
(
T
)
{\displaystyle i_{0}\in {\mathsf {V}}(T)}
의 차수는
d
N
{\displaystyle d_{N}}
이다.
원점
i
0
∈
V
(
T
)
{\displaystyle i_{0}\in {\mathsf {V}}(T)}
에서 거리가
N
−
n
{\displaystyle N-n}
인 모든 꼭짓점의 차수는
d
n
+
1
{\displaystyle d_{n}+1}
이다. (즉,
d
n
{\displaystyle d_{n}}
개의 가지들을 가진다.)
d
0
=
0
{\displaystyle d_{0}=0}
이다. (즉, 모든 꼭짓점은 원점에서 거리
N
{\displaystyle N}
이하이다.)
원점에서 거리
N
−
n
{\displaystyle N-n}
의 꼭짓점
i
{\displaystyle i}
의 높이 가
ht
(
i
)
=
ℓ
(
i
,
i
0
)
=
n
{\displaystyle \operatorname {ht} (i)=\ell (i,i_{0})=n}
이라고 하자.
예를 들어, 베테 그래프 의 경우
N
→
∞
{\displaystyle N\to \infty }
이며
d
N
−
1
=
d
N
−
1
=
d
N
−
2
=
⋯
=
d
1
{\displaystyle d_{N}-1=d_{N-1}=d_{N-2}=\dotsb =d_{1}}
의 꼴이다.
이제, 같은 높이에서 균등한 함수
β
i
prec
(
i
)
=
β
ht
(
i
)
{\displaystyle \beta _{i\operatorname {prec} (i)}=\beta _{\operatorname {ht} (i)}}
h
i
=
h
ht
(
i
)
{\displaystyle h_{i}=h_{\operatorname {ht} (i)}}
를 생각하자. 즉,
h
0
,
β
0
,
h
1
,
β
1
,
h
2
,
…
,
β
N
−
1
,
h
N
{\displaystyle h_{0},\beta _{0},h_{1},\beta _{1},h_{2},\dotsc ,\beta _{N-1},h_{N}}
이 존재한다.
이제, 이 그래프 위의 이징 모형의 분배 함수
Z
N
(
h
N
,
β
N
−
1
,
h
N
−
1
,
β
n
−
2
,
…
,
β
0
,
h
0
)
{\displaystyle Z_{N}(h_{N},\beta _{N-1},h_{N-1},\beta _{n-2},\dotsc ,\beta _{0},h_{0})}
를 생각하자. 그렇다면, 다음과 같은 재귀적 관계가 성립한다.
Z
N
(
h
N
,
β
N
−
1
,
h
N
−
1
,
β
n
−
2
,
…
,
β
0
,
h
0
)
=
exp
(
h
N
)
Z
N
−
1
(
h
N
−
1
+
β
N
−
1
,
β
N
−
2
,
h
N
−
2
,
…
,
β
0
,
h
0
)
d
n
+
exp
(
−
h
N
)
Z
N
−
1
(
h
N
−
1
−
β
N
−
1
,
β
N
−
2
,
h
N
−
2
,
…
,
β
0
,
h
0
)
d
n
{\displaystyle Z_{N}(h_{N},\beta _{N-1},h_{N-1},\beta _{n-2},\dotsc ,\beta _{0},h_{0})=\exp(h_{N})Z_{N-1}(h_{N-1}+\beta _{N-1},\beta _{N-2},h_{N-2},\dotsc ,\beta _{0},h_{0})^{d_{n}}+\exp(-h_{N})Z_{N-1}(h_{N-1}-\beta _{N-1},\beta _{N-2},h_{N-2},\dotsc ,\beta _{0},h_{0})^{d_{n}}}
Z
0
(
h
0
)
=
2
cosh
h
0
{\displaystyle Z_{0}(h_{0})=2\cosh h_{0}}
편의상 다음과 같은 함수를 정의하자.
C
N
(
β
N
,
h
N
,
β
N
−
1
,
h
N
−
1
,
…
)
=
1
2
(
Z
N
(
β
N
+
h
N
,
β
N
−
1
,
h
N
−
1
,
…
)
+
Z
N
(
−
β
N
+
h
N
,
β
N
−
1
,
h
N
−
1
,
…
)
)
{\displaystyle C_{N}(\beta _{N},h_{N},\beta _{N-1},h_{N-1},\dotsc )={\frac {1}{2}}\left(Z_{N}(\beta _{N}+h_{N},\beta _{N-1},h_{N-1},\dotsc )+Z_{N}(-\beta _{N}+h_{N},\beta _{N-1},h_{N-1},\dotsc )\right)}
S
N
(
β
N
,
h
N
,
β
N
−
1
,
h
N
−
1
,
…
)
=
1
2
(
Z
N
(
β
N
+
h
N
,
β
N
−
1
,
h
N
−
1
,
…
)
−
Z
N
(
−
β
N
+
h
N
,
β
N
−
1
,
h
N
−
1
,
…
)
)
{\displaystyle S_{N}(\beta _{N},h_{N},\beta _{N-1},h_{N-1},\dotsc )={\frac {1}{2}}\left(Z_{N}(\beta _{N}+h_{N},\beta _{N-1},h_{N-1},\dotsc )-Z_{N}(-\beta _{N}+h_{N},\beta _{N-1},h_{N-1},\dotsc )\right)}
그렇다면 이 재귀 관계는 다음과 같다.
C
N
=
2
cosh
β
N
(
(
C
N
−
1
+
S
N
−
1
)
d
N
exp
h
N
+
(
C
N
−
1
−
S
N
−
1
)
d
N
exp
h
N
)
{\displaystyle C_{N}=2\cosh \beta _{N}\left((C_{N-1}+S_{N-1})^{d_{N}}\exp h_{N}+(C_{N-1}-S_{N-1})^{d_{N}}\exp h_{N}\right)}
S
N
=
2
sinh
β
N
(
(
C
N
−
1
+
S
N
−
1
)
d
N
exp
h
N
−
(
C
N
−
1
−
S
N
−
1
)
d
N
exp
h
N
)
{\displaystyle S_{N}=2\sinh \beta _{N}\left((C_{N-1}+S_{N-1})^{d_{N}}\exp h_{N}-(C_{N-1}-S_{N-1})^{d_{N}}\exp h_{N}\right)}
Z
N
(
h
N
,
β
N
−
1
,
h
N
−
1
,
…
)
=
exp
(
h
N
)
(
C
N
−
1
+
S
N
−
1
)
d
N
+
exp
(
−
h
N
)
(
C
N
−
1
−
S
N
−
1
)
d
N
{\displaystyle Z_{N}(h_{N},\beta _{N-1},h_{N-1},\dotsc )=\exp(h_{N})(C_{N-1}+S_{N-1})^{d_{N}}+\exp(-h_{N})(C_{N-1}-S_{N-1})^{d_{N}}}
만약
d
i
{\displaystyle d_{i}}
,
h
i
{\displaystyle h_{i}}
,
β
i
{\displaystyle \beta _{i}}
가 상수 함수 라면, 이는
(
C
N
,
S
N
)
∈
R
2
{\displaystyle (C_{N},S_{N})\in \mathbb {R} ^{2}}
에 대한 이산 시간 동역학계
(
c
s
)
↦
(
(
2
cosh
β
)
(
(
c
+
s
)
d
+
(
c
−
s
)
d
)
(
2
sinh
β
)
(
(
c
+
s
)
d
−
(
c
−
s
)
d
)
)
{\displaystyle {\binom {c}{s}}\mapsto {\binom {(2\cosh \beta )((c+s)^{d}+(c-s)^{d})}{(2\sinh \beta )((c+s)^{d}-(c-s)^{d})}}}
로 여길 수 있다.
N
→
∞
{\displaystyle N\to \infty }
극한은 (만약 존재한다면) 이 함수의 고정점 에 해당한다.
특히, 만약
d
=
1
{\displaystyle d=1}
일 때 (경로 그래프 ), 이는 선형 변환에 불과하며, 이 경우 유한한
N
{\displaystyle N}
의 경우에도 풀 수 있다.
유한 그래프
Γ
{\displaystyle \Gamma }
가 주어졌으며, 그래프 데카르트 곱
Γ
◻
C
L
{\displaystyle \Gamma \,\square \,{\mathsf {C}}_{L}}
위의 이징 모형을 생각하자. (여기서
C
L
{\displaystyle {\mathsf {C}}_{L}}
은 크기
L
{\displaystyle L}
의 순환 그래프 이다.) 이 경우, 실수 힐베르트 공간
V
=
R
{
±
1
}
V
(
Γ
)
{\displaystyle V=\mathbb {R} ^{\{\pm 1\}^{{\mathsf {V}}(\Gamma )}}}
을 정의할 수 있다. 이는
2
|
V
(
Γ
)
|
{\displaystyle 2^{|{\mathsf {V}}(\Gamma )|}}
차원 실수 힐베르트 공간 이다. 임의의 함수
σ
:
V
(
Γ
)
→
{
±
1
}
{\displaystyle \sigma \colon {\mathsf {V}}(\Gamma )\to \{\pm 1\}}
에 대하여, 기저 벡터
|
σ
⟩
∈
V
{\displaystyle |\sigma \rangle \in V}
를 정의할 수 있으며, 이러한 꼴의 벡터들은
V
{\displaystyle V}
의 정규 직교 기저 를 이룬다.
각 두 꼭짓점
i
,
j
∈
V
(
Γ
)
{\displaystyle i,j\in {\mathsf {V}}(\Gamma )}
에 대하여, 연산자
S
i
(
β
,
h
)
:
V
→
V
{\displaystyle S_{i}(\beta ,h)\colon V\to V}
T
i
j
(
β
)
:
V
→
V
{\displaystyle T_{ij}(\beta )\colon V\to V}
⟨
σ
|
S
i
(
β
,
h
)
|
σ
′
⟩
=
exp
(
h
(
σ
i
+
σ
i
′
)
/
2
+
β
σ
i
σ
i
′
)
∏
k
≠
i
δ
(
σ
k
,
σ
k
′
)
{\displaystyle \langle \sigma |S_{i}(\beta ,h)|\sigma '\rangle =\exp(h(\sigma _{i}+\sigma '_{i})/2+\beta \sigma _{i}\sigma '_{i})\prod _{k\neq i}\delta (\sigma _{k},\sigma '_{k})}
⟨
σ
|
T
i
j
(
β
)
|
σ
′
⟩
=
exp
(
β
σ
i
σ
j
)
∏
k
∈
V
(
Γ
)
δ
(
σ
k
,
σ
k
′
)
{\displaystyle \langle \sigma |T_{ij}(\beta )|\sigma '\rangle =\exp(\beta \sigma _{i}\sigma _{j})\prod _{k\in {\mathsf {V}}(\Gamma )}\delta (\sigma _{k},\sigma '_{k})}
를 정의할 수 있다. 즉,
S
i
{\displaystyle S_{i}}
는
C
L
{\displaystyle {\mathsf {C}}_{L}}
방향(“시간 방향”)의 변을 생성하며,
T
i
j
{\displaystyle T_{ij}}
는
Γ
{\displaystyle \Gamma }
방향(“공간 방향”)의 변을 생성한다. 이들은 둘 다 에르미트 연산자 를 이룬다.
그렇다면, 그래프
Γ
{\displaystyle \Gamma }
위에서,
β
{\displaystyle \beta }
와
h
{\displaystyle h}
가 상수 함수 인 경우, 이징 모형은 다음과 같이 연산자로 나타낼 수 있다.
Z
Γ
(
β
;
h
=
0
)
=
∑
σ
1
,
σ
2
,
…
,
σ
L
⟨
σ
1
|
∏
i
j
∈
E
(
Γ
)
T
i
j
(
β
)
|
σ
1
⟩
⟨
σ
1
|
∏
i
∈
V
(
Γ
)
S
i
(
β
,
h
)
|
σ
2
⟩
⟨
σ
2
|
∏
i
j
∈
E
(
Γ
)
T
i
j
(
β
)
|
σ
2
⟩
⋯
⟨
σ
L
|
∏
i
j
∈
E
(
Γ
)
T
i
j
(
β
)
|
σ
L
⟩
⟨
σ
L
|
∏
i
∈
V
(
Γ
)
S
i
(
β
,
h
)
|
σ
1
⟩
{\displaystyle Z_{\Gamma }(\beta ;h=0)=\sum _{\sigma ^{1},\sigma ^{2},\dotsc ,\sigma ^{L}}\langle \sigma ^{1}|\prod _{ij\in {\mathsf {E}}(\Gamma )}T_{ij}(\beta )|\sigma ^{1}\rangle \langle \sigma ^{1}|\prod _{i\in {\mathsf {V}}(\Gamma )}S_{i}(\beta ,h)|\sigma ^{2}\rangle \langle \sigma ^{2}|\prod _{ij\in {\mathsf {E}}(\Gamma )}T_{ij}(\beta )|\sigma ^{2}\rangle \dotsm \langle \sigma ^{L}|\prod _{ij\in {\mathsf {E}}(\Gamma )}T_{ij}(\beta )|\sigma ^{L}\rangle \langle \sigma ^{L}|\prod _{i\in {\mathsf {V}}(\Gamma )}S_{i}(\beta ,h)|\sigma ^{1}\rangle }
여기서
∑
σ
a
|
σ
a
⟩
⟨
σ
a
|
∏
i
j
∈
E
(
Γ
)
T
i
j
(
β
)
|
σ
a
⟩
⟨
σ
a
|
∏
i
∈
V
(
Γ
)
S
i
(
β
)
=
∑
σ
a
|
σ
a
⟩
⟨
σ
a
|
∏
i
j
∈
E
(
Γ
)
T
i
j
(
β
)
∏
i
∈
V
(
Γ
)
S
i
(
β
)
=
∏
i
j
∈
E
(
Γ
)
T
i
j
(
β
)
∏
i
∈
V
(
Γ
)
S
i
(
β
)
{\displaystyle \sum _{\sigma ^{a}}|\sigma ^{a}\rangle \langle \sigma ^{a}|\prod _{ij\in {\mathsf {E}}(\Gamma )}T_{ij}(\beta )|\sigma ^{a}\rangle \langle \sigma ^{a}|\prod _{i\in {\mathsf {V}}(\Gamma )}S_{i}(\beta )=\sum _{\sigma ^{a}}|\sigma ^{a}\rangle \langle \sigma ^{a}|\prod _{ij\in {\mathsf {E}}(\Gamma )}T_{ij}(\beta )\prod _{i\in {\mathsf {V}}(\Gamma )}S_{i}(\beta )=\prod _{ij\in {\mathsf {E}}(\Gamma )}T_{ij}(\beta )\prod _{i\in {\mathsf {V}}(\Gamma )}S_{i}(\beta )}
이다. 즉,
Z
Γ
(
β
;
h
=
0
)
=
tr
(
∏
i
j
∈
E
(
Γ
)
T
i
j
(
β
)
∏
i
∈
V
(
Γ
)
S
i
(
β
,
h
)
)
L
{\displaystyle Z_{\Gamma }(\beta ;h=0)=\operatorname {tr} \left(\prod _{ij\in {\mathsf {E}}(\Gamma )}T_{ij}(\beta )\prod _{i\in {\mathsf {V}}(\Gamma )}S_{i}(\beta ,h)\right)^{L}}
이다. 이에 따라, 이러한 그래프 위의 이징 모형은 연산자
∏
i
j
∈
E
(
Γ
)
T
i
j
(
β
)
∏
i
∈
V
(
Γ
)
S
i
(
β
,
h
)
{\displaystyle \prod _{ij\in {\mathsf {E}}(\Gamma )}T_{ij}(\beta )\prod _{i\in {\mathsf {V}}(\Gamma )}S_{i}(\beta ,h)}
의 고윳값 을 구하는 것으로 귀결된다.
2차원 이징 모형에서의 자기화
1차원에서는 양의 온도에서 상전이 현상이 일어나지 않는다. (다만, 절대 영도
β
=
∞
{\displaystyle \beta =\infty }
에서 상전이 가 발생하는 것으로 간주할 수 있다.) 하지만 이징 모형은 2차원 이상에서는 상전이 가 일어나며, 특히 2차원 이징 모형은 해석적인 해를 구할 수 있다.[ 5] 그 열역학적 극한은 2차원 등각 장론 으로 주어진다.
구체적으로, 다음과 같은 대각선 모양의 격자를 생각하자.
⋮
⋮
⋮
╲
╱
╲
╱
╲
╱
●
●
●
╱
╲
╱
╲
╱
╲
⋯
○
○
○
○
⋯
╲
╱
╲
╱
╲
╱
⋯
●
●
●
⋯
╱
╲
╱
╲
╱
╲
○
○
○
○
╲
╱
╲
╱
╲
╱
⋮
⋮
⋮
편의상 꼭짓점을 두 색으로 칠하였다. 이 경우, 두 종류의 행들이 있게 된다. 총
2
L
{\displaystyle 2L}
개의 행이 있다고 하자. (즉,
L
{\displaystyle L}
개의 ○행과
L
{\displaystyle L}
개의 ●행이 있다.) 각 행의 길이가
N
{\displaystyle N}
이라고 하고, ○행의 꼭짓점을
{
0
,
1
,
…
,
N
−
1
}
(
mod
N
)
{\displaystyle \{0,1,\dotsc ,N-1\}{\pmod {N}}}
이라고 하고, ●행의 꼭짓점을
{
1
2
,
1
2
+
1
,
…
,
N
−
1
2
}
(
mod
N
)
{\displaystyle \{{\tfrac {1}{2}},{\tfrac {1}{2}}+1,\dotsc ,N-{\tfrac {1}{2}}\}{\pmod {N}}}
라고 하자.
두 종류의 행에 대응하는 실수 힐베르트 공간 을 각각
H
∙
≅
R
{
±
1
}
N
{\displaystyle {\mathcal {H}}_{\bullet }\cong \mathbb {R} ^{\{\pm 1\}^{N}}}
H
∘
≅
R
{
±
1
}
N
{\displaystyle {\mathcal {H}}_{\circ }\cong \mathbb {R} ^{\{\pm 1\}^{N}}}
라고 하자.
이제, 다음과 같은 연산자들을 정의할 수 있다.
V
∙
∘
:
H
∘
→
H
∙
{\displaystyle V_{\bullet \circ }\colon {\mathcal {H}}_{\circ }\to {\mathcal {H}}_{\bullet }}
V
∘
∙
:
H
∙
→
H
∘
{\displaystyle V_{\circ \bullet }\colon {\mathcal {H}}_{\bullet }\to {\mathcal {H}}_{\circ }}
⟨
σ
∙
|
V
∙
∘
|
σ
∘
⟩
=
exp
∑
i
=
1
N
(
β
↗
σ
i
+
1
/
2
∙
σ
i
∘
+
β
↖
σ
i
−
1
/
2
∙
σ
i
∘
)
{\displaystyle \langle \sigma ^{\bullet }|V_{\bullet \circ }|\sigma ^{\circ }\rangle =\exp \sum _{i=1}^{N}(\beta _{\nearrow }\sigma _{i+1/2}^{\bullet }\sigma _{i}^{\circ }+\beta _{\nwarrow }\sigma _{i-1/2}^{\bullet }\sigma _{i}^{\circ })}
⟨
σ
∘
|
V
∘
∙
|
σ
∙
⟩
=
exp
∑
i
=
1
N
(
β
↗
σ
i
∘
σ
i
−
1
/
2
∙
+
β
↖
σ
i
∘
σ
i
+
1
/
2
∙
)
{\displaystyle \langle \sigma ^{\circ }|V_{\circ \bullet }|\sigma ^{\bullet }\rangle =\exp \sum _{i=1}^{N}(\beta _{\nearrow }\sigma _{i}^{\circ }\sigma _{i-1/2}^{\bullet }+\beta _{\nwarrow }\sigma _{i}^{\circ }\sigma _{i+1/2}^{\bullet })}
이들을 전이 행렬 (轉移行列, 영어 : transition matrix )이라고 한다. 이를 사용하여 이징 모형의 분배 함수 를 다음과 같이 적을 수 있다.
Z
N
,
L
(
β
↗
,
β
↖
)
=
tr
H
∘
(
V
∘
∙
V
∙
∘
)
L
=
∑
i
=
1
2
N
λ
i
L
{\displaystyle Z_{N,L}(\beta _{\nearrow },\beta _{\nwarrow })=\operatorname {tr} _{{\mathcal {H}}_{\circ }}(V_{\circ \bullet }V_{\bullet \circ })^{L}=\sum _{i=1}^{2^{N}}\lambda _{i}^{L}}
여기서
λ
i
{\displaystyle \lambda _{i}}
는
V
∘
∙
V
∙
∘
:
H
∘
→
H
∘
{\displaystyle V_{\circ \bullet }V_{\bullet \circ }\colon {\mathcal {H}}_{\circ }\to {\mathcal {H}}_{\circ }}
의 고윳값들이다. (다만 이는 일반적으로 대칭 행렬 이 아니다.) 즉, 분배 함수의 계산은
V
W
{\displaystyle VW}
의 고윳값 들을 계산하는 것으로 귀결된다.
두 힐베르트 공간 사이에 다음과 같은 두 동형 사상을 정의할 수 있다.
P
∙
∘
±
:
H
∘
→
H
∙
{\displaystyle P_{\bullet \circ }^{\pm }\colon {\mathcal {H}}_{\circ }\to {\mathcal {H}}_{\bullet }}
⟨
σ
∙
|
P
∙
∘
±
|
σ
∘
⟩
=
∏
i
=
1
N
δ
(
σ
i
±
1
/
2
∙
,
σ
i
∘
)
{\displaystyle \langle \sigma ^{\bullet }|P_{\bullet \circ }^{\pm }|\sigma ^{\circ }\rangle =\prod _{i=1}^{N}\delta (\sigma _{i\pm 1/2}^{\bullet },\sigma _{i}^{\circ })}
P
∘
∙
±
=
(
P
∙
∘
∓
)
−
1
{\displaystyle P_{\circ \bullet }^{\pm }=(P_{\bullet \circ }^{\mp })^{-1}}
물론
(
P
∘
∙
±
P
∙
∘
±
)
N
=
1
{\displaystyle (P_{\circ \bullet }^{\pm }P_{\bullet \circ }^{\pm })^{N}=1}
(
P
∙
∘
±
P
∘
∙
±
)
N
=
1
{\displaystyle (P_{\bullet \circ }^{\pm }P_{\circ \bullet }^{\pm })^{N}=1}
이다.
또한, 다음과 같은 연산자를 정의할 수 있다.
R
∙
∙
:
H
∙
→
H
∙
{\displaystyle R_{\bullet \bullet }\colon {\mathcal {H}}_{\bullet }\to {\mathcal {H}}_{\bullet }}
R
∘
∘
:
H
∘
→
H
∘
{\displaystyle R_{\circ \circ }\colon {\mathcal {H}}_{\circ }\to {\mathcal {H}}_{\circ }}
⟨
σ
′
∘
|
R
∘
∘
|
σ
∘
⟩
=
∏
i
=
1
N
δ
(
σ
′
i
∘
,
−
σ
′
i
∘
)
{\displaystyle \langle {\sigma '}^{\circ }|R_{\circ \circ }|\sigma ^{\circ }\rangle =\prod _{i=1}^{N}\delta ({\sigma '}_{i}^{\circ },-{\sigma '}_{i}^{\circ })}
R
∙
∙
=
P
∙
∘
±
R
∘
∘
P
∘
∙
∓
{\displaystyle R_{\bullet \bullet }=P_{\bullet \circ }^{\pm }R_{\circ \circ }P_{\circ \bullet }^{\mp }}
즉, 이들은 모든 스핀을 뒤집는 연산자이다. 물론
R
∙
∙
2
=
1
{\displaystyle R_{\bullet \bullet }^{2}=1}
R
∘
∘
2
=
1
{\displaystyle R_{\circ \circ }^{2}=1}
이다.
이제, 이 연산자들은 다음과 같은 성질을 가진다.
V
∘
∙
(
β
↗
,
β
↖
)
=
V
∙
∘
(
β
↖
,
β
↗
)
⊤
{\displaystyle V_{\circ \bullet }(\beta _{\nearrow },\beta _{\nwarrow })=V_{\bullet \circ }(\beta _{\nwarrow },\beta _{\nearrow })^{\top }}
[ 2] :95, (7.4.1)
만약
sinh
(
2
β
↗
)
sinh
(
2
β
↖
)
=
sinh
(
2
β
↗
′
)
sinh
(
2
β
↖
′
)
{\displaystyle \sinh(2\beta _{\nearrow })\sinh(2\beta _{\nwarrow })=\sinh(2\beta '_{\nearrow })\sinh(2\beta '_{\nwarrow })}
라면,
V
(
β
↗
,
β
↖
)
W
(
β
↗
,
β
↖
)
=
V
(
β
↗
′
,
β
↖
′
)
W
(
β
↗
,
β
↖
)
{\displaystyle V(\beta _{\nearrow },\beta _{\nwarrow })W(\beta _{\nearrow },\beta _{\nwarrow })=V(\beta '_{\nearrow },\beta '_{\nwarrow })W(\beta _{\nearrow },\beta _{\nwarrow })}
이다. 또한, 다음이 성립한다.
[
V
∙
∘
(
β
↗
,
β
↖
)
,
V
∙
∘
(
β
↗
′
,
β
↖
′
)
]
=
0
{\displaystyle [V_{\bullet \circ }(\beta _{\nearrow },\beta _{\nwarrow }),V_{\bullet \circ }(\beta '_{\nearrow },\beta '_{\nwarrow })]=0}
[
V
∘
∙
(
β
↗
,
β
↖
)
,
V
∘
∙
(
β
↗
′
,
β
↖
′
)
]
=
0
{\displaystyle [V_{\circ \bullet }(\beta _{\nearrow },\beta _{\nwarrow }),V_{\circ \bullet }(\beta '_{\nearrow },\beta '_{\nwarrow })]=0}
V
∙
∘
(
β
↗
,
β
↖
)
R
∘
∘
=
R
∙
∙
V
∙
∘
(
−
β
↗
,
−
β
↖
)
{\displaystyle V_{\bullet \circ }(\beta _{\nearrow },\beta _{\nwarrow })R_{\circ \circ }=R_{\bullet \bullet }V_{\bullet \circ }(-\beta _{\nearrow },-\beta _{\nwarrow })}
[ 2] :95, (7.4.3)
V
∘
∙
(
β
↗
,
β
↖
)
R
∙
∙
=
R
∘
∘
V
∘
∙
(
−
β
↗
,
−
β
↖
)
{\displaystyle V_{\circ \bullet }(\beta _{\nearrow },\beta _{\nwarrow })R_{\bullet \bullet }=R_{\circ \circ }V_{\circ \bullet }(-\beta _{\nearrow },-\beta _{\nwarrow })}
V
∘
∙
(
β
↗
,
β
↖
)
P
∙
∘
±
=
P
∘
∙
±
V
∙
∘
(
β
↗
,
β
↖
)
{\displaystyle V_{\circ \bullet }(\beta _{\nearrow },\beta _{\nwarrow })P_{\bullet \circ }^{\pm }=P_{\circ \bullet }^{\pm }V_{\bullet \circ }(\beta _{\nearrow },\beta _{\nwarrow })}
V
∙
∘
(
β
↗
,
β
↖
)
V
∘
∙
(
β
↖
+
i
π
/
2
,
−
β
↗
)
=
(
2
i
sinh
(
2
β
↖
)
)
N
+
(
2
i
sinh
(
2
β
↗
)
)
N
R
∙
∙
{\displaystyle V_{\bullet \circ }(\beta _{\nearrow },\beta _{\nwarrow })V_{\circ \bullet }(\beta _{\nwarrow }+\mathrm {i} \pi /2,-\beta _{\nearrow })=(2\mathrm {i} \sinh(2\beta _{\nwarrow }))^{N}+(2\mathrm {i} \sinh(2\beta _{\nearrow }))^{N}R_{\bullet \bullet }}
이다.
N
{\displaystyle N}
이 짝수일 때, 행렬
V
∘
∙
V
∙
∘
{\displaystyle V_{\circ \bullet }V_{\bullet \circ }}
의
2
N
{\displaystyle 2^{N}}
개의 고윳값 들은 다음과 같다. (대칭 행렬 이 아니므로, 일부 고윳값 들은 복소수 이다.)
λ
(
r
,
γ
;
β
↗
,
β
↖
,
N
)
=
(
−
4
α
2
s
−
1
)
N
/
2
(
sinh
N
2
β
↖
−
(
−
)
2
s
sinh
N
2
β
↗
)
∏
i
∈
Z
/
(
N
)
+
s
μ
i
γ
i
{\displaystyle \lambda (r,\gamma ;\beta _{\nearrow },\beta _{\nwarrow },N)=(-4\alpha ^{2s-1})^{N/2}\left(\sinh ^{N}2\beta _{\nwarrow }-(-)^{2s}\sinh ^{N}2\beta _{\nearrow }\right)\prod _{i\in \mathbb {Z} /(N)+s}\mu _{i}^{\gamma _{i}}}
[ 2] :109, (7.9.7)
μ
i
=
cosh
(
2
β
↗
)
cosh
(
2
β
↖
)
+
1
+
sinh
2
β
↗
sinh
2
β
↖
−
(
α
2
i
+
α
−
2
i
)
sinh
β
↗
sinh
β
↖
α
i
sinh
(
2
β
↗
)
+
α
−
i
sinh
(
2
β
↖
)
(
i
∈
Z
/
(
N
)
+
s
)
{\displaystyle \mu _{i}={\frac {\cosh(2\beta _{\nearrow })\cosh(2\beta _{\nwarrow })+{\sqrt {1+\sinh ^{2}\beta _{\nearrow }\sinh ^{2}\beta _{\nwarrow }-(\alpha ^{2i}+\alpha ^{-2i})\sinh \beta _{\nearrow }\sinh \beta _{\nwarrow }}}}{\alpha ^{i}\sinh(2\beta _{\nearrow })+\alpha ^{-i}\sinh(2\beta _{\nwarrow })}}\qquad (i\in \mathbb {Z} /(N)+s)}
[ 2] :109, (7.9.8)
여기서
s
∈
{
1
/
2
,
0
}
{\displaystyle s\in \{1/2,0\}}
γ
∈
{
±
1
}
Z
/
(
N
)
+
s
,
∑
i
∈
Z
/
(
N
)
+
s
N
γ
i
≡
N
(
mod
4
)
{\displaystyle \gamma \in \{\pm 1\}^{\mathbb {Z} /(N)+s},\qquad \sum _{i\in \mathbb {Z} /(N)+s}^{N}\gamma _{i}\equiv N{\pmod {4}}}
α
(
N
)
=
exp
i
π
N
{\displaystyle \alpha (N)=\exp {\frac {\mathrm {i} \pi }{N}}}
이다.
(
−
1
)
2
s
+
1
∈
{
±
1
}
{\displaystyle (-1)^{2s+1}\in \{\pm 1\}}
는
R
∘
∘
{\displaystyle R_{\circ \circ }}
의 고윳값 에 해당한다.
이징 모형은 다음과 같이 여러 가지로 해석될 수 있다.
이징 모형은 자석(강자성체)의 간단한 모형으로 여길 수 있다. 이 경우 상전이는 퀴리 온도 에서의 상전이에 해당한다.
이징 모형은 반강자성체의 간단한 모형으로 여길 수 있다.
이징 모형은 기체의 간단한 모형으로 여길 수 있다. 이 경우 상전이는 기체와 액체 사이의 상전이에 해당한다.
N
{\displaystyle N}
개의 자기 쌍극자
μ
{\displaystyle \mu }
를 포함하는 강자성체에 (상수 함수 가 아닐 수 있는) 외부 자기장
H
{\displaystyle H}
가 걸려 있다고 하자. 쌍극자는 자기장에 평행한 방향
+
μ
{\displaystyle +\mu }
또는 반평행한 방향
−
μ
{\displaystyle -\mu }
둘 중 하나를 가리킨다고 하자. 또한, 쌍극자 사이의 상호작용은 격자 위에서 바로 옆에 있는 경우를 제외하고는 무시할 수 있고, 바로 옆에 있는 경우에는 서로 같은 방향을 가리킬 때 위치 에너지
−
ϵ
{\displaystyle -\epsilon }
을, 서로 반대 방향을 가리킬 때 위치 에너지
ϵ
{\displaystyle \epsilon }
을 가진다고 하자. 그렇다면, 강자성체의 해밀토니언 은 다음과 같다.
E
=
−
ϵ
∑
i
j
∈
E
(
Γ
)
σ
i
σ
j
−
μ
∑
i
H
i
σ
i
{\displaystyle E=-\epsilon \sum _{ij\in {\mathsf {E}}(\Gamma )}\sigma _{i}\sigma _{j}-\mu \sum _{i}H_{i}\sigma _{i}}
여기서
σ
i
=
±
1
{\displaystyle \sigma _{i}=\pm 1}
은 격자의 각 위치에서의 쌍극자의 방향을 나타내는 매개변수이고,
⟨
i
j
⟩
{\displaystyle \langle ij\rangle }
은 격자 위에서 서로 옆에 있는 위치
i
{\displaystyle i}
와
j
{\displaystyle j}
를 나타낸다.
이 경우 볼츠만 분포 는
exp
(
−
E
/
k
B
T
)
=
exp
(
ϵ
k
B
T
∑
i
j
∈
E
(
Γ
)
σ
i
σ
j
+
μ
k
B
T
∑
i
∈
V
(
Γ
)
H
i
σ
i
)
{\displaystyle \exp(-E/\mathrm {k} _{\mathrm {B} }T)=\exp \left({\frac {\epsilon }{k_{\mathrm {B} }T}}\sum _{ij\in {\mathsf {E}}(\Gamma )}\sigma _{i}\sigma _{j}+{\frac {\mu }{k_{\mathrm {B} }T}}\sum _{i\in {\mathsf {V}}(\Gamma )}H_{i}\sigma _{i}\right)}
이다.
따라서, 이는
β
=
ϵ
k
B
T
{\displaystyle \beta ={\frac {\epsilon }{k_{\mathrm {B} }T}}}
h
i
=
μ
k
B
T
H
i
{\displaystyle h_{i}={\frac {\mu }{k_{\mathrm {B} }T}}H_{i}}
인 이징 모형에 해당한다.
N
{\displaystyle N}
개의 자기 쌍극자
μ
{\displaystyle \mu }
를 포함하는 반강자성체 가 주어졌다고 하자. 즉, 서로 이웃하는 스핀이 같은 방향을 가리킬 때 에너지가
+
ϵ
{\displaystyle +\epsilon }
이며, 반대 방향을 가리킬 때 에너지가
−
ϵ
{\displaystyle -\epsilon }
이라고 하자. 또한, 외부 자기장이
H
{\displaystyle H}
라고 하자. 이 경우, 에너지는
E
=
ϵ
∑
i
j
∈
E
(
Γ
)
σ
i
σ
j
−
μ
∑
i
∈
V
(
Γ
)
H
i
σ
i
{\displaystyle E=\epsilon \sum _{ij\in {\mathsf {E}}(\Gamma )}\sigma _{i}\sigma _{j}-\mu \sum _{i\in {\mathsf {V}}(\Gamma )}H_{i}\sigma _{i}}
가 된다. 즉, 볼츠만 분포는
exp
(
−
ϵ
k
B
T
∑
i
j
∈
E
(
Γ
)
σ
i
σ
j
+
μ
k
B
T
∑
i
∈
V
(
Γ
)
H
i
σ
i
)
{\displaystyle \exp \left(-{\frac {\epsilon }{k_{\mathrm {B} }T}}\sum _{ij\in \mathrm {E} (\Gamma )}\sigma _{i}\sigma _{j}+{\frac {\mu }{k_{\mathrm {B} }T}}\sum _{i\in \mathrm {V} (\Gamma )}H_{i}\sigma _{i}\right)}
가 된다.
이는
β
=
−
ϵ
k
B
T
{\displaystyle \beta =-{\frac {\epsilon }{k_{\mathrm {B} }T}}}
h
i
=
μ
k
B
T
H
i
{\displaystyle h_{i}={\frac {\mu }{k_{\mathrm {B} }T}}H_{i}}
가 되는 이징 모형에 해당한다.
기체 분자 사이의 퍼텐셜의 대략적인 모양 (레너드-존스 퍼텐셜 )
기체를 구성하는 분자 사이의 퍼텐셜
V
(
r
)
{\displaystyle V(r)}
은 일반적으로 다음과 같은 특성을 갖는다.
두 입자가 매우 가까울 때, 매우 강한 척력이 작용한다. 즉,
r
→
0
{\displaystyle r\to 0}
일 때
V
(
r
)
→
+
∞
{\displaystyle V(r)\to +\infty }
이다.
두 입자가 매우 가깝지 않을 경우, 인력이 작용한다. 즉, 어떤 거리
r
∼
r
0
{\displaystyle r\sim r_{0}}
근처에서 퍼텐셜 우물이 존재한다. 이 근처에서 퍼텐셜은 음수이다.
두 입자가 매우 멀 경우, 서로 힘을 가하지 않는다. 즉,
r
→
∞
{\displaystyle r\to \infty }
일 때
V
{\displaystyle V}
는 0으로 수렴한다.
물론,
V
=
0
{\displaystyle V=0}
일 경우는 이상 기체 에 해당한다.
V
{\displaystyle V}
의 퍼텐셜 우물은 기체-액체 상전이 를 가능하게 한다.
이제, 그래프
Γ
{\displaystyle \Gamma }
위에 기체 분자들이 놓여 있다고 하자. 이 경우,
σ
i
=
+
1
{\displaystyle \sigma _{i}=+1}
인 것은 꼭짓점
i
∈
V
(
Γ
)
{\displaystyle i\in {\mathsf {V}}(\Gamma )}
에 기체 분자가 하나 존재함을 나타낸다.
σ
i
=
−
1
{\displaystyle \sigma _{i}=-1}
인 것은 꼭짓점
i
∈
V
(
Γ
)
{\displaystyle i\in {\mathsf {V}}(\Gamma )}
에 기체 분자가 없음을 나타낸다.
σ
i
=
{
±
1
}
{\displaystyle \sigma _{i}=\{\pm 1\}}
인 것은 같은 꼭짓점에 기체 분자가 두 개 이상 존재할 수 없음을 나타낸다. 즉,
lim
r
→
0
V
(
r
)
≫
1
{\displaystyle \textstyle \lim _{r\to 0}V(r)\gg 1}
이다.
변
i
j
∈
E
(
Γ
)
{\displaystyle ij\in {\mathsf {E}}(\Gamma )}
에 대응하는 해밀토니언의 항
σ
i
σ
j
{\displaystyle \sigma _{i}\sigma _{j}}
은 두 입자 사이의 퍼텐셜 우물을 나타낸다.
해밀토니언에서 서로 변으로 연결되어 있지 않은 꼭짓점은 서로 상호 작용하지 않는다. 이는 원거리의 입자가 상호 작용하지 않음을 나타낸다.
즉, 총 분자 수는
N
=
∑
i
∈
V
(
Γ
)
σ
i
+
1
2
{\displaystyle N=\sum _{i\in {\mathsf {V}}(\Gamma )}{\frac {\sigma _{i}+1}{2}}}
이다. 두 분자 사이의 퍼텐셜 우물의 깊이가
−
ϵ
0
{\displaystyle -\epsilon _{0}}
이라고 하자. 그렇다면, 총 에너지는
E
=
−
ϵ
∑
i
j
∈
E
(
Γ
)
(
σ
i
+
1
)
(
σ
j
+
1
)
4
=
−
1
4
ϵ
∑
i
j
∈
E
(
Γ
)
σ
i
σ
j
−
1
4
ϵ
|
E
(
Γ
)
|
−
1
4
ϵ
∑
i
∈
V
(
Γ
)
σ
i
deg
Γ
(
i
)
{\displaystyle E=-\epsilon \sum _{ij\in {\mathsf {E}}(\Gamma )}{\frac {(\sigma _{i}+1)(\sigma _{j}+1)}{4}}=-{\frac {1}{4}}\epsilon \sum _{ij\in {\mathsf {E}}(\Gamma )}\sigma _{i}\sigma _{j}-{\frac {1}{4}}\epsilon |{\mathsf {E}}(\Gamma )|-{\frac {1}{4}}\epsilon \sum _{i\in {\mathsf {V}}(\Gamma )}\sigma _{i}\deg _{\Gamma }(i)}
이다. 즉, 큰 바른틀 앙상블의 성분은
exp
(
−
E
k
B
T
+
μ
k
B
T
β
∑
i
∈
V
(
Γ
)
(
σ
i
+
1
)
2
)
{\displaystyle \exp \left(-{\frac {E}{k_{\mathrm {B} }T}}+{\frac {\mu }{k_{\mathrm {B} }T}}\beta \sum _{i\in {\mathsf {V}}(\Gamma )}{\frac {(\sigma _{i}+1)}{2}}\right)}
이다. 이는
β
=
ϵ
k
B
T
{\displaystyle \beta ={\frac {\epsilon }{k_{\mathrm {B} }T}}}
h
i
=
μ
2
k
B
T
+
ϵ
4
k
B
T
deg
Γ
(
i
)
{\displaystyle h_{i}={\frac {\mu }{2k_{\mathrm {B} }T}}+{\frac {\epsilon }{4k_{\mathrm {B} }T}}\deg _{\Gamma }(i)}
가 되는 이징 모형에 해당한다. 여기서
μ
{\displaystyle \mu }
는 화학 퍼텐셜 이며,
deg
Γ
(
i
)
{\displaystyle \deg _{\Gamma }(i)}
는 꼭짓점
i
{\displaystyle i}
에 연결된 변의 수이다. 특히, 만약
Γ
{\displaystyle \Gamma }
가 정규 그래프 일 경우,
h
{\displaystyle h}
역시 상수 함수 가 된다.
크기
|
V
(
Γ
)
|
{\displaystyle |{\mathsf {V}}(\Gamma )|}
를 다양하게 조절할 수 있는 그래프의 족에서, 분배 함수
Z
Γ
(
β
,
h
)
{\displaystyle Z_{\Gamma }(\beta ,h)}
가 그래프의 크기
|
V
(
Γ
)
|
{\displaystyle |{\mathsf {V}}(\Gamma )|}
에 대한 매끄러운 함수 로 주어진다고 하자. 이제, 한 꼭짓점이 나타내는 부피가
v
0
{\displaystyle v_{0}}
라고 할 때, 기체의 압력은
P
=
k
B
T
v
0
(
∂
ln
Z
∂
|
V
(
Γ
)
|
)
T
{\displaystyle P={\frac {k_{\mathrm {B} }T}{v_{0}}}\left({\frac {\partial \ln Z}{\partial |{\mathsf {V}}(\Gamma )|}}\right)_{T}}
에 해당한다. (여기서
v
0
∼
r
0
d
{\displaystyle v_{0}\sim r_{0}^{d}}
는 대략 퍼텐셜 우물의 위치
r
0
{\displaystyle r_{0}}
의, 그래프 차원
d
{\displaystyle d}
에 대한 거듭제곱이다.) 열역학적 극한
|
V
(
Γ
)
|
→
∞
{\displaystyle |{\mathsf {V}}(\Gamma )|\to \infty }
이 잘 정의된다면, 자유 에너지
−
T
ln
Z
{\displaystyle -T\ln Z}
가
ln
Z
∝
|
V
(
Γ
)
|
(
|
V
(
Γ
)
|
≫
1
)
{\displaystyle \ln Z\propto |{\mathsf {V}}(\Gamma )|\qquad (|{\mathsf {V}}(\Gamma )|\gg 1)}
이어야 한다. 즉, 이 경우
P
=
k
B
T
ln
Z
v
0
|
V
(
Γ
)
|
{\displaystyle P={\frac {k_{\mathrm {B} }T\ln Z}{v_{0}|{\mathsf {V}}(\Gamma )|}}}
가 된다.
2차원 정사각형 격자를 비롯하여, 4차 정규 그래프 위의 이징 모형 은 이합체 모형 으로 해석될 수 있다.