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이차 함수

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정의편집

이차 함수는 다음과 같은 꼴의 함수   (또는  )이다.

 

단,  이어야 한다.

보다 일반적으로, 이변수 이차 함수는 다음과 같은 꼴의 함수   (또는  )이다.

 

단,  가 성립하지 않아야 한다.

보다 일반적으로,  변수 이차 함수는 다음과 같은 꼴의 함수   (또는  )이다.

 

단,  가 성립하지 않아야 한다.

성질편집

 
 

이차 함수의 그래프는 대칭축이 수직선인 포물선이다. 즉, 허공에 비껴 던져진 물체의 비행 궤도와 같다.

반대로, 대칭축이 수직선인 모든 포물선은 어떤 이차 함수의 그래프이다.

방정식편집

이차 함수의 (곡선으로서의) 방정식은 다음와 같은 세 가지 꼴로 나타낼 수 있다.

  • 일반형은 다음과 같다.
     
  • 표준형은 다음과 같다. (이는  가 같은 두 이차 함수의 그래프는 서로 합동이며, 서로를 평행 이동하여 서로를 얻을 수 있음을 의미한다.)
     
  • 인수 분해형은 다음과 같다. (이는 모든 이차 함수는 서로 같거나 서로 다른 두 실수 또는 허수 영점을 가짐을 의미한다.)
     

일반형의 계수를 통해 다른 두 가지 꼴의 방정식을 나타내는 방법은 다음과 같다.

 

볼록성편집

이차 함수  의 개형은 이차항 계수  에 따라 다음과 같이 나뉜다.

  •  라면,  엄격 볼록 함수이다. 즉, 그래프가 아래로 볼록하다.
  •  라면,  엄격 오목 함수이다. 즉, 그래프가 위로 볼록하다.

또한,  가 클수록  의 그래프의 모양은 뾰족해진다.

y절편편집

이차 함수   절편은  이다. 즉  의 그래프는  축과 점  에서 만난다.

대칭 · 단조성 · 최댓값과 최솟값편집

이차 함수  의 대칭축의 방정식은 다음과 같다.

 

이 대칭축과 그래프의 교점은 다음과 같으며, 이를 꼭짓점이라고 한다.

 

꼭짓점은 이차 함수의 단조성이 변화하는 점이며, 함수가 최댓값 또는 최솟값을 갖는 점이다.  의 부호에 따라 다음과 같이 나뉜다.

  •  이라면,   에서 엄격 감소하며,  에서 엄격 증가한다. 따라서,  의 최솟값은  이며, 최댓값은 존재하지 않는다.
  •  이라면,   에서 엄격 증가하며,  에서 엄격 감소한다. 따라서,  의 최댓값은  이며, 최솟값은 존재하지 않는다.

영점 · 판별식 · 비에트 정리편집

이차 함수  영점, 즉 그래프와  축의 교점의  좌표는 다음과 같으며, 이를 이차 함수의 근의 공식이라고 한다.

 

구체적으로, 이차 함수  판별식  의 값에 따라 다음과 같은 경우로 나뉜다.

  •  이라면,  는 서로 다른 두 실근  를 가진다. 이때 그래프는  축과 두 개의 교점을 가지며,  축은 그래프의 할선이다.
  •  이라면,  는 서로 겹치는 두 실근  를 가진다. 이를  이중근이라고 한다. 이때 그래프는  축과 유일한 교점을 가지며,  축은 그래프의 접선이다.
  •  이라면,  는 실근을 가지지 않지만, 서로 다른 두 허근  를 가진다. 이때 그래프는  축과 만나지 않는다.

이차 함수의 두 근과 일반형의 계수 사이에 다음과 같은 관계가 성립하며, 이를 비에트 정리라고 한다.

 
 

기타 성질편집

이차함수  에서 꼭짓점을 A, x절편들을 각각 B, C라고 할 때, △ABC의 넓이   가 성립한다.

같이 보기편집

외부 링크편집