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이차함수 의 그래프.

x축과 그래프가 만나는 점의 x좌표이라는 이차방정식의 해가 된다.

이차 방정식(二次方程式, 영어: quadratic equation)이란, 최고차항의 차수가 2인 다항 방정식을 뜻한다. 에 관한 이차 방정식의 일반적인 모양은

와 같고, 여기서 변수, 는 각각 계수라고 하며, 는 상수항이라고 부른다.

복소수 상에서 이차방정식은 두 복소수 해 실근 (실수인 근)과 허근 (허수인 근으로, 보통 소문자 로 표기한다.)을 갖는다. 이차방정식의 두 근은 서로 중복될 수 있고, 이 때 중복되는 두 근이 실근인지 허근인지는 관계없이 중근이라고 한다.

이차 방정식의 근의 공식편집

다음은 이차 방정식의 일반적인 해법인 근의 공식이다. 그 사용법은 다음과 같다.

 , 단,  ,  ,  실수이고   이 아닐 때, 이 방정식의 두 해  ,  
 이다.

이차 방정식의 근의 공식의 다른 형태는 다음과 같다.

 , 단  일 경우에만 성립한다.[1]

여기에서 제곱근 기호 안의 수, 즉  를 이 이차방정식의 판별식이라고 하며, 주로  로 나타낸다.

판별식의 값에 따라 방정식의 해는 세 가지로 나뉜다.

  • 만약 판별식이 양수이면, 방정식은 서로 다른 두 실근을 갖는다.
  • 만약 판별식이 0이면, 방정식은 한 개의 실근을 갖는다. 이 때의 실근을 중근이라고 한다.
  • 만약 판별식이 음수이면, 방정식은 서로 다른 두 허근을 갖는다. 따라서, 실수 범위 내에서는 해가 존재하지 않는다.

따라서, 제곱근 기호  안의 수, 즉  는 이 이차방정식의 판별식이 된다. 제곱근 루트의 성질에 의해서 루트의 내부가 양수이면 근의 공식은  가 살아있는  개의 값이 되고, 루트의 내부가  이면 루트는 없어짐으로  개의 중복된 실수근을 갖게되고, 루트 내부에 음수가 존재하면 허수   가 생겨나므로 실수범위를 넘어서는 복소수체계에서 허수근을 갖게되겠다.

또한, 루트의 내부가  이면 루트는 없어짐으로  개의 중복된 실수근을 갖게될때는,

 

따라서, 의 방정식은 이와같이 유도되고, 따라서, 이차함수꼭지점대칭 축은   가 된다.

근의 공식의 유도편집

이차방정식의 근의 공식의 유도과정은 다음과 같다.
아이디어는 좌변을 완전제곱식으로 만드는 것이다.

 에서,   이 아니므로 양변을  로 나눌 수 있다. 이렇게 이차항  의 계수를  로 만든다.

 

가 얻어지고, 상수항만 우변으로 이항하면

 

일차항  의 계수를  로 나누고 제곱한 상수항을 만들어 양변에 더해준다.

 
 

제곱근을 취하면

 
  (단,  )

가 얻어진다.


이차방정식 근의공식의 유도과정 아이디어는 고차방정식의 응용면에서도 중요하게 이용된다.
또한 판별식   일때, 즉
  은 방정식이 중근을 갖는, 완전제곱식이 되는 조건을 만족함을 의미한다.

 

짝수 공식편집

이차 방정식에서 일차항의 계수  가 짝수인 경우   를 대입하면, 위에 제시된 근의 공식을 이용하는 것보다 아래의 짝수 공식을 이용하는 쪽이 더 간단하게 표현된다.

 
근의 공식을 이용한 이차 방정식의 풀이편집

이차 방정식   을 근의 공식을 이용하여 풀어보자. 근의 공식   에 각각 이차항, 일차항 그리고 상수항의 계수들을 대입하면
 
  이다.


차 고차항 압축 정리(취른하우스 변형)에 의한 근의 공식 유도편집

다항 방정식에서 양변의 각항들을 해당 방정식의 최고차항(  차항)의  의 계수,  로 나눈 다음  의 형태로 치환해서 차고차항(최고차항의 바로 아랫차항)을 생략시킬수있는데 이러한 절차로 정리하는것을 차고차항 압축 정리(zipping)이라고 가정했을때,

이차 방정식

 은 다음의 꼴로 정리되고,
 

그리고

 의 꼴로 정리해서,
 로 다시 정리하면 되겠다.

따라서,

 
 

우선,  

 

따라서,

 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 에서,
 
 
 

여기에서도 아이디어는 좌변을 완전제곱식으로 만드는 것이다. 여기서는 완전제곱식은  이다.

이러한   값은 이차함수의 꼭지점인 의 값과 관계있다.

근과 계수의 관계편집

근의 공식을 이용한 근과 계수의 관계 증명 1편집

 의 두 근  를 각각

 

 이라고 하면(순서는 바뀌어도 무관)

  •  

 


 


  •  

 

 

 


  •  

 

 

이차방정식 만들기를 이용한 근과 계수의 관계 증명 2편집

 의 두근 을 각  라고 정의하고

 을 근으로 갖는 이차방정식을  이라 한 후

이 이차방정식 앞에 계수  (단,  이 아니다)를 붙여주면(∵ 계수를 붙이건 안 붙이건 근은 같으므로)

 

(∵ 두 이차방정식의 해가 같으므로)


먼저 두 번째 이차방정식인  의 계수를 나누고 전개해주면

  - ⓐ

또한, 첫 번째 이차방정식인   또한 두 번째 이차방정식을 전개할 때와 마찬가지로

최고차항  의 계수  로 나눠주면

  - ⓑ

ⓐ = ⓑ 이므로, 따라서

 

 

 

같이 보기편집

각주편집

  1. 물론, 이차방정식이므로  도 만족해야한다.