위너 확률 과정 에 대한 이토 적분은 다음과 같다. (보다 일반적으로 준마팅게일 에 대하여 이토 적분을 정의할 수 있다.)
평균 제곱 적분 가능 확률 과정의 바나흐 공간
편집
확률 공간
Ω
{\displaystyle \Omega }
위의 확률 과정
(
X
t
:
Ω
→
R
)
t
∈
[
a
,
b
]
{\displaystyle (X_{t}\colon \Omega \to \mathbb {R} )_{t\in [a,b]}}
을 생각하자. 만약
E
(
∫
a
b
X
t
2
d
t
)
<
∞
{\displaystyle \mathbb {E} \left(\int _{a}^{b}X_{t}^{2}\,\mathrm {d} t\right)<\infty }
라면,
X
{\displaystyle X}
를 평균 제곱 적분 가능 확률 과정 (平均제곱積分可能確率過程, 영어 : mean-square-integrable stochastic process )이라고 한다.
Ω
×
[
a
,
b
]
→
R
{\displaystyle \Omega \times [a,b]\to \mathbb {R} }
평균 제곱 적분 확률 과정들의 공간을
S
2
(
Ω
,
[
a
,
b
]
)
{\displaystyle {\mathcal {S}}^{2}(\Omega ,[a,b])}
로 표기하자. 이 위에는 자연스러운 반노름
‖
X
‖
S
2
=
E
(
∫
a
b
X
t
2
d
t
)
{\displaystyle \|X\|_{{\mathcal {S}}^{2}}=\mathbb {E} \left(\int _{a}^{b}X_{t}^{2}\,\mathrm {d} t\right)}
이 존재한다. 이 반노름이 0인 확률 과정들(거의 어디서나 값이 0인 것들)의 부분 공간
N
⊆
S
2
(
Ω
,
[
a
,
b
]
)
{\displaystyle {\mathcal {N}}\subseteq {\mathcal {S}}^{2}(\Omega ,[a,b])}
에 대한 몫공간
S
2
(
Ω
,
[
a
,
b
]
)
=
S
2
(
Ω
,
[
a
,
b
]
)
N
{\displaystyle \operatorname {S} ^{2}(\Omega ,[a,b])={\frac {{\mathcal {S}}^{2}(\Omega ,[a,b])}{\mathcal {N}}}}
은 노름 공간 이며, 사실 바나흐 공간 을 이룬다.
기초 확률 과정
편집
확률 공간
(
Ω
,
F
∞
,
Pr
)
{\displaystyle (\Omega ,{\mathcal {F}}_{\infty },\Pr )}
위의 (표준) 위너 확률 과정
(
W
t
:
Ω
→
R
)
t
∈
[
a
,
b
]
{\displaystyle (W_{t}\colon \Omega \to \mathbb {R} )_{t\in [a,b]}}
이 주어졌다고 하자.
(
Ω
,
F
t
)
t
∈
[
a
,
b
]
{\displaystyle (\Omega ,{\mathcal {F}}_{t})_{t\in [a,b]}}
가
W
t
{\displaystyle W_{t}}
의 자연 여과 확률 공간 의 오른쪽 연속 완비화라고 하자.
B
(
[
0
,
t
]
)
⊆
Pow
(
[
0
,
t
]
)
{\displaystyle {\mathcal {B}}([0,t])\subseteq \operatorname {Pow} ([0,t])}
가
[
0
,
t
]
{\displaystyle [0,t]}
의 보렐 집합 들의 시그마 대수 라고 하자.
다음이 주어졌다고 하자.
모든
F
t
{\displaystyle {\mathcal {F}}_{t}}
들과 독립 인 시그마 대수
G
⊆
F
∞
{\displaystyle {\mathcal {G}}\subseteq {\mathcal {F}}_{\infty }}
유한 증가 실수열
a
=
t
0
≤
t
1
≤
t
2
…
≤
⋯
≤
t
N
=
b
{\displaystyle a=t_{0}\leq t_{1}\leq t_{2}\dotsc \leq \dotsb \leq t_{N}=b}
그렇다면, 여과 확률 공간
(
Ω
,
σ
(
F
t
∪
G
)
,
Pr
)
t
∈
[
a
,
b
]
{\displaystyle (\Omega ,\sigma ({\mathcal {F}}_{t}\cup {\mathcal {G}}),\Pr )_{t\in [a,b]}}
을 정의할 수 있다. (여기서
σ
(
−
)
{\displaystyle \sigma (-)}
는 주어진 집합족으로 생성되는 시그마 대수 를 뜻한다.) 다시 말해, 이 여과 확률 공간 은 ‘위너 확률 과정으로 알려진 정보’ + ‘시간에 의존하지 않는 추가 정보’를 나타낸다.
(
Ω
,
σ
(
F
t
∪
G
)
,
Pr
)
{\displaystyle (\Omega ,\sigma ({\mathcal {F}}_{t}\cup {\mathcal {G}}),\Pr )}
위의 순응 확률 과정
(
X
t
:
Ω
→
R
)
t
∈
[
a
,
b
]
{\displaystyle (X_{t}\colon \Omega \to \mathbb {R} )_{t\in [a,b]}}
이 다음 조건들을 모두 만족시킨다면,
(
W
,
G
,
(
t
i
)
i
=
0
N
)
{\displaystyle (W,{\mathcal {G}},(t_{i})_{i=0}^{N})}
-기초 확률 과정 (基礎確率過程, 영어 : elementary stochastic process )이라고 한다.
임의의
t
∈
[
a
,
b
]
{\displaystyle t\in [a,b]}
에 대하여,
(
X
↾
[
0
,
t
]
×
Ω
)
:
[
0
,
t
]
×
Ω
→
R
{\displaystyle (X\upharpoonright [0,t]\times \Omega )\colon [0,t]\times \Omega \to \mathbb {R} }
는 시그마 대수
B
(
[
0
,
t
]
)
×
F
t
{\displaystyle {\mathcal {B}}([0,t])\times {\mathcal {F}}_{t}}
에 대한 가측 함수 이다.
∀
i
∈
{
0
,
…
,
N
−
1
}
∀
t
∈
[
t
i
,
t
i
+
1
)
:
X
t
=
X
t
i
{\displaystyle \forall i\in \{0,\dotsc ,N-1\}\forall t\in [t_{i},t_{i+1})\colon X_{t}=X_{t_{i}}}
이다.
(
W
,
G
,
(
t
i
)
i
=
0
N
)
{\displaystyle (W,{\mathcal {G}},(t_{i})_{i=0}^{N})}
-기초 확률 과정
(
X
t
:
Ω
→
R
)
t
∈
[
a
,
b
]
{\displaystyle (X_{t}\colon \Omega \to \mathbb {R} )_{t\in [a,b]}}
의 이토 적분 은 다음과 같은 확률 변수 이다.
∫
a
b
X
t
d
W
t
=
∑
i
=
0
N
−
1
X
t
i
(
W
t
i
+
1
−
W
t
i
)
{\displaystyle \int _{a}^{b}X_{t}\,\mathrm {d} W_{t}=\sum _{i=0}^{N-1}X_{t_{i}}(W_{t_{i+1}}-W_{t_{i}})}
임의의 위너 확률 과정
W
{\displaystyle W}
에 대하여, 그 위의 (모든
G
{\displaystyle {\mathcal {G}}}
및
(
t
i
)
i
=
0
N
{\displaystyle (t_{i})_{i=0}^{N}}
에 대한) 기초 확률 과정들의 부분 벡터 공간은 바나흐 공간
S
2
(
Ω
,
[
a
,
b
]
)
{\displaystyle \operatorname {S} ^{2}(\Omega ,[a,b])}
속의 조밀 집합 을 이룬다. 즉, 모든 평균 제곱 적분 확률 과정은
S
2
{\displaystyle \operatorname {S} ^{2}}
-노름에 대하여 수렴하는 기초 확률 과정들의 열로 근사될 수 있다.
이토 적분
편집
임의의 평균 제곱 적분 가능 확률 과정
X
∈
S
2
(
Ω
,
[
a
,
b
]
)
{\displaystyle X\in {\mathcal {S}}^{2}(\Omega ,[a,b])}
이 주어졌다고 하자. 그렇다면,
X
{\displaystyle X}
로 (
S
2
{\displaystyle \operatorname {S} ^{2}}
-노름에 대하여) 수렴하는 기초 확률 과정들의 열
Y
(
1
)
,
Y
(
2
)
,
…
{\displaystyle Y^{(1)},Y^{(2)},\dotsc }
을 항상 고를 수 있다. 그렇다면, 확률 변수 들의 열
∫
a
b
Y
t
(
i
)
d
W
t
:
Ω
→
R
{\displaystyle \int _{a}^{b}Y_{t}^{(i)}\,\mathrm {d} W_{t}\colon \Omega \to \mathbb {R} }
을 정의할 수 있다. 이는 르베그 공간
L
2
(
Ω
,
R
)
{\displaystyle \operatorname {L} ^{2}(\Omega ,\mathbb {R} )}
의 원소이며, 항상 (
L
2
{\displaystyle \operatorname {L} ^{2}}
-노름에 대한) 극한 을 갖는다.
(
X
t
:
Ω
→
R
)
t
∈
[
a
,
b
]
{\displaystyle (X_{t}\colon \Omega \to \mathbb {R} )_{t\in [a,b]}}
의 이토 적분
∫
a
b
X
t
d
W
t
∈
L
2
(
Ω
,
R
)
{\displaystyle \int _{a}^{b}X_{t}\,\mathrm {d} W_{t}\in \operatorname {L} ^{2}(\Omega ,\mathbb {R} )}
은
∫
a
b
Y
t
(
i
)
d
W
t
{\displaystyle \textstyle \int _{a}^{b}Y_{t}^{(i)}\,\mathrm {d} W_{t}}
들의 (
L
2
{\displaystyle \operatorname {L} ^{2}}
-노름) 극한이다.
lim
i
→
∞
L
2
∫
a
b
Y
t
(
i
)
d
W
t
=
∫
a
b
X
t
d
W
t
∈
L
2
(
Ω
,
R
)
{\displaystyle \lim _{i\to \infty }^{\operatorname {L} ^{2}}\int _{a}^{b}Y_{t}^{(i)}\,\mathrm {d} W_{t}=\int _{a}^{b}X_{t}\,\mathrm {d} W_{t}\in \operatorname {L} ^{2}(\Omega ,\mathbb {R} )}
이는 사용한
Y
(
i
)
{\displaystyle Y^{(i)}}
에 의존하지 않음을 보일 수 있다.