수학 에서 이항관계 (二項關係, 영어 : binary relation ) 혹은 대응 (對應, correspondence)은 순서쌍 들로 이루어지는 집합 이다. 두 집합 의 곱집합 의 부분집합 으로 정의되기도 한다. 두 대상 사이에 어떤 이항관계가 성립한다는 것은 그 두 대상에 관한 성질로 볼 수 있고, 이는 그 두 대상의 순서쌍이 그 이항관계 집합의 원소인 것과 동치이다.
약수 관계, 즉 "...는 ...의 약수이다"는 두 정수 사이의 이항관계의 예이다. 이 경우 (5, 20)은 약수 관계가 성립하나, (20, 5)와 (6, 13)은 성립하지 않는다.
이항관계는 수학의 여러 분야에서 "...는 ...보다 크다", "...는 ...와 같다", "...는 ...와 합동 이다" 등의 개념을 설명하기 위해 사용된다. 근현대 수학의 중요한 개념인 함수 도 이항관계의 특별한 경우이다. 이항관계는 컴퓨터 과학 에서도 중요하게 사용된다.
이항관계는 n 항관계n = 2인 특별한 경우이다.
일부 공리적 집합론 에서, 관계는 모임 으로 확장된다.
이항관계
R
{\displaystyle R}
역관계
R
−
1
{\displaystyle R^{-1}}
x
,
y
∈
X
{\displaystyle x,y\in X}
x
R
−
1
y
⟺
y
R
x
{\displaystyle xR^{-1}y\iff yRx}
를 만족시키는 이항관계다. 즉,
R
−
1
=
{
(
x
,
y
)
|
(
y
,
x
)
∈
R
}
{\displaystyle R^{-1}=\{(x,y)|(y,x)\in R\}}
이항관계
R
{\displaystyle R}
S
{\displaystyle S}
합성관계
R
∘
S
{\displaystyle R\circ S}
x
,
y
∈
X
{\displaystyle x,y\in X}
x
(
R
∘
S
)
y
⟺
∃
z
,
x
S
z
R
y
{\displaystyle x(R\circ S)y\iff \exists z,\ xSzRy}
를 만족시키는 이항관계다.
이항관계
R
{\displaystyle R}
부분집합
A
⊆
dom
R
,
{\displaystyle A\subseteq \operatorname {dom} R,}
B
⊆
ran
R
{\displaystyle B\subseteq \operatorname {ran} R}
A
{\displaystyle A}
R
{\displaystyle R}
상
R
(
A
)
{\displaystyle R(A)}
R
(
A
)
=
{
y
|
∃
x
∈
A
:
x
R
y
}
{\displaystyle R(A)=\{y|\exists x\in A\colon xRy\}}
B
{\displaystyle B}
R
{\displaystyle R}
원상 (또는 역상 )
R
−
1
(
B
)
{\displaystyle R^{-1}(B)}
B
{\displaystyle B}
R
{\displaystyle R}
R
−
1
(
B
)
=
{
x
|
∃
y
∈
B
:
x
R
y
}
{\displaystyle R^{-1}(B)=\{x|\exists y\in B\colon xRy\}}
함수
F
⊆
X
×
Y
{\displaystyle F\subseteq X\times Y}
F
:
X
→
Y
{\displaystyle F\colon X\to Y}
∀
x
∈
X
∃
y
∈
Y
:
x
F
y
{\displaystyle \forall x\in X\exists y\in Y\colon xFy}
∀
x
∈
X
∀
y
,
z
∈
Y
:
x
F
y
∧
x
F
z
⟹
y
=
z
{\displaystyle \forall x\in X\forall y,z\in Y\colon xFy\land xFz\implies y=z}
이항관계는 일반적으로 함수가 아니다. 예를 들어 약수 관계에서, 5로 나누어지는 정수는 유일하지 않다.
반사관계
R
⊆
X
2
{\displaystyle R\subseteq X^{2}}
∀
x
∈
X
:
x
R
x
{\displaystyle \forall x\in X\colon xRx}
대칭관계
R
⊆
X
2
{\displaystyle R\subseteq X^{2}}
∀
x
,
y
∈
X
:
x
R
y
⟹
y
R
x
{\displaystyle \forall x,y\in X\colon xRy\implies yRx}
반대칭관계
R
⊆
X
2
{\displaystyle R\subseteq X^{2}}
∀
x
,
y
∈
X
:
x
R
y
∧
y
R
x
⟹
x
=
y
{\displaystyle \forall x,y\in X\colon xRy\land yRx\implies x=y}
추이관계
R
⊆
X
2
{\displaystyle R\subseteq X^{2}}
∀
x
,
y
,
z
∈
X
:
x
R
y
∧
y
R
z
⟹
x
R
z
{\displaystyle \forall x,y,z\in X\colon xRy\land yRz\implies xRz}
완전관계
R
⊆
X
2
{\displaystyle R\subseteq X^{2}}
∀
x
,
y
∈
X
:
x
R
y
∨
y
R
x
{\displaystyle \forall x,y\in X\colon xRy\lor yRx}
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