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전단사 함수의 예

수학에서, 전단사 함수(全單射函數, 영어: bijection, bijective function)는 두 집합 사이를 중복 없이 모두 일대일로 대응시키는 함수이다. 일대일 대응이라고도 한다.

정의편집

집합  ,   사이의 함수  에 대하여, 다음 조건들이 서로 동치이며, 이를 만족시키는 함수를 전단사 함수라고 한다.

  • 임의의  에 대하여,  인 유일한  가 존재한다.
  • 전사 함수이며 단사 함수이다.
  • 집합의 범주에서의 동형 사상이다. 즉,  ,  인 함수  가 존재한다. 이러한   역함수라고 한다.

성질편집

두 집합    사이에 전단사 함수가 존재한다면,  집합의 크기 집합의 크기는 같다.

크기가 같은 두 유한 집합  ,   사이의 함수  가 단사 함수이거나 전사 함수라면, 항상 전단사 함수이다. 그러나 이는 무한 집합에 대하여 성립하지 않는다. (예를 들어,  ,  은 단사 함수이지만 전사 함수가 아니다.)

집합   위의 전단사 함수  들의 집합은 대칭군  라는 을 이루며, 이는 집합의 범주에서의 자기 동형군이다.

유한 집합   위에서, 집합  로 가는 전단사 함수의 수는 다음과 같다.

 

같이 보기편집

외부 링크편집