멱평균

멱평균(power mean), 일반화된 평균은 평균식을 일반화한 식으로, 산술평균, 기하평균, 조화평균 등을 포함한다.

0이 아닌 실수 $p$와 양의 실수 $x_{1},x_{2},\cdots ,x_{n}$에 대해, 멱평균은 다음과 같이 정의된다.

$M_{p}(x_{1},\dots ,x_{n})=\left({\frac {1}{n}}\cdot \sum _{i=1}^{n}x_{i}^{p}\right)^{1/p}$

이때 $p$가 1일 때는 산술평균, -1일 때는 조화평균이 된다. 또한, $p$가 0에 가까워지는 극한의 경우에는 기하평균이 된다.

일반화된 f-평균 $M_{f}(x_{1},\dots ,x_{n})=f^{-1}\left({\frac {f(x_{1})+\cdots +f(x_{n})}{n}}\right)$은 멱평균을 더 일반화한 식으로, 이 식을 사용하면 극한 개념을 사용하지 않고 기하평균을 얻을 수 있다. 또한 이때 $f(x)=x^{p}$인 경우에는 멱평균을 얻는다.