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미분기하학에서, 일반화 복소다양체(一般化複素多樣體, 영어: generalized complex manifold)는 복소다양체심플렉틱 다양체의 공통적인 일반화이다. 물리학적으로, 캘브-라몽 장 가 존재하는 IIB 초끈 이론 축소화를 나타낸다.

정의편집

 차원 매끄러운 다양체   위의 일반화 개복소구조(一般化槪複素構造, 영어: generalized almost complex structure)는 실수 벡터 다발   위의 개복소구조이다. 즉, 다음 두 조건을 만족시키는 다발 사상  이다.

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여기서  는 부호수  의 자연스러운 내적 사상이다. 일반화 개복소구조가 주어진 매끄러운 다양체를 일반화 개복소다양체(一般化槪複素多樣體, 영어: generalized complex manifold)라고 한다.

일반화 개복소다양체 위의 일반화 정칙접다발(영어: generalized holomorphic tangent bundle)은 다음과 같은 복소수 벡터 다발이다.

 

이에 따라

 

가 된다.

 의 두 매끄러운 단면  ,  에 대하여, 다음와 같이 쿠란트 괄호(Courant括弧, 영어: Courant bracket)를 정의하자.

 

여기서  리 미분이며,  외미분이다.

일반화 개복소구조 가운데,  매끄러운 단면들이 쿠란트 괄호에 대하여 닫혀 있는 것들을 일반화 복소구조(一般化複素構造, 영어: generalized complex structure)라고 하며, 일반화 복소구조가 주어진 매끄러운 다양체를 일반화 복소다양체(一般化複素多樣體, 영어: generalized complex manifold)라고 한다.

순수 스피너편집

 차원 실수 벡터 공간  가 주어졌을 때,   위에는 자연스러운   구조가 존재한다. 이 경우, 리 대수의 작용은

 

이다.

 외대수   위에 다음과 같은 작용을 갖는다.

 

이 경우

 

이며, 이는 디랙 행렬과 같은 형태이다. 이를 사용하여,  디랙 스피너 공간을 다음과 같이 표준적으로 나타낼 수 있다.

 

이는 짝수 차원 디랙 스피너 공간이며, 이는 바일 스피너 공간의 직합으로 나타낼 수 있다.

 
 
 

스피너   가운데,

 

인 것을  순수 스피너(純粹spinor, 영어: pure spinor)라고 한다.

이 모든 정의들은 벡터 공간 대신, 매끄러운 다양체 위의 벡터 다발에 대하여 정의할 수 있다.

일반화 칼라비-야우 다양체편집

매끄러운 다양체  의 일반화 접다발  이 자명한 순수 스피너 복소수 선다발을 갖는다면,  일반화 칼라비-야우 다양체라고 한다. 즉,

 

 의 순수 스피너이며,  이며, 또한 모든 곳에서  이라면  은 일반화 칼라비-야우 다양체를 이룬다.

일반화 칼라비-야우 다양체  가 주어졌을 때,   위의 일반화 복소구조를 정의한다. 즉, 모든 일반화 칼라비-야우 다양체는 일반화 복소다양체를 이룬다.

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복소다양체편집

모든 복소다양체는 자명하게 일반화 복소다양체를 이루며, 모든 칼라비-야우 다양체는 자명하게 일반화 칼라비-야우 다양체를 이룬다. 복소수  차원 복소다양체  의 경우,  는 정칙 벡터장 및  -복소수 미분 형식들의 다발의 직합이다.

 

이 경우, 순수 스피너는  -복소수 미분 형식이며, 칼라비-야우 다양체의 경우 정칙 부피 형식  이 존재하므로 일반화 칼라비-야우 다양체를 이룬다.

심플렉틱 다양체편집

모든 심플렉틱 다양체 역시 일반화 복소다양체를 이루며, 또한 일반화 칼라비-야우 다양체를 이룬다.  차원 심플렉틱 다양체  가 주어졌을 때, 순수 스피너는 다음과 같은 꼴의 복소수 미분 형식이다.

 

순수 스피너의 다발은 항상 자명하므로, 이는 항상 일반화 칼라비-야우 다양체를 이룸을 알 수 있다. 이 경우, 일반화 정칙 접다발은 다음과 같은 꼴의 원소들로 구성된다.

 

역사편집

나이절 히친이 2002년에 거울 대칭을 다루기 위하여 도입하였다.[1] 이후 히친의 박사 과정 학생인 마르코 괄티에리(이탈리아어: Marco Gualtieri)가 박사 학위 논문에서 이를 체계적으로 연구하였다.[2]

참고 문헌편집

  1. Hitchin, Nigel J. (2003). “Generalized Calabi–Yau manifolds”. 《The Quarterly Journal of Mathematics》 (영어) 54: 281-308. Bibcode:2002math......9099H. arXiv:math/0209099. doi:10.1093/qmath/hag025. 
  2. Gualtieri, Marco (2003). 《Generalized complex geometry》 (영어). 박사 학위 논문 (지도 교수 N. J. Hitchin). 옥스퍼드 대학교. Bibcode:2004math......1221G. arXiv:math/0401221. 

외부 링크편집