n
{\displaystyle n}
매끄러운 다양체
M
{\displaystyle M}
일반화 개복소구조 (一般化槪複素構造, 영어 : generalized almost complex structure )는 실수 벡터 다발
T
M
⊕
T
∗
M
{\displaystyle TM\oplus T^{*}M}
개복소구조 이다. 즉, 다음 두 조건을 만족시키는 다발 사상
J
:
T
M
⊕
T
∗
M
→
T
M
⊕
T
∗
M
{\displaystyle J\colon \mathrm {T} M\oplus \mathrm {T} ^{*}M\to \mathrm {T} M\oplus \mathrm {T} ^{*}M}
J
2
=
−
id
{\displaystyle J^{2}=-\operatorname {id} }
⟨
J
(
X
+
ξ
)
,
J
(
Y
+
η
)
⟩
=
⟨
X
,
η
⟩
+
⟨
Y
,
ξ
⟩
{\displaystyle \langle J(X+\xi ),J(Y+\eta )\rangle =\langle X,\eta \rangle +\langle Y,\xi \rangle }
여기서
⟨
,
⟩
{\displaystyle \langle ,\rangle }
(
n
,
n
)
{\displaystyle (n,n)}
일반화 개복소다양체 (一般化槪複素多樣體, 영어 : generalized complex manifold )라고 한다.
일반화 개복소다양체 위의 일반화 정칙접다발 (영어 : generalized holomorphic tangent bundle )은 다음과 같은 복소수 벡터 다발이다.
E
=
{
X
+
ξ
∈
Γ
(
(
T
M
⊕
T
∗
M
)
⊗
C
)
:
J
(
X
+
ξ
)
=
i
(
X
+
ξ
)
}
{\displaystyle E=\{X+\xi \in \Gamma ((\mathrm {T} M\oplus \mathrm {T} ^{*}M)\otimes \mathbb {C} )\colon J(X+\xi )=\mathrm {i} (X+\xi )\}}
이에 따라
(
T
M
⊕
T
∗
M
)
⊗
C
≅
E
⊕
E
¯
{\displaystyle (\mathrm {T} M\oplus \mathrm {T} ^{*}M)\otimes C\cong E\oplus {\bar {E}}}
가 된다.
T
M
⊕
T
∗
M
{\displaystyle \mathrm {T} M\oplus \mathrm {T} ^{*}M}
매끄러운 단면
X
+
ξ
{\displaystyle X+\xi }
Y
+
η
{\displaystyle Y+\eta }
쿠란트 괄호 (Courant括弧, 영어 : Courant bracket )를 정의하자.
[
X
+
ξ
,
Y
+
η
]
=
[
X
,
Y
]
+
L
X
η
−
L
Y
ξ
−
1
2
d
(
⟨
X
,
η
⟩
−
⟨
Y
,
ξ
⟩
)
{\displaystyle [X+\xi ,Y+\eta ]=[X,Y]+{\mathcal {L}}_{X}\eta -{\mathcal {L}}_{Y}\xi -{\frac {1}{2}}d(\langle X,\eta \rangle -\langle Y,\xi \rangle )}
여기서
L
X
{\displaystyle {\mathcal {L}}_{X}}
리 미분 이며,
d
{\displaystyle d}
외미분 이다.
일반화 개복소구조 가운데,
E
{\displaystyle E}
매끄러운 단면 들이 쿠란트 괄호에 대하여 닫혀 있는 것들을 일반화 복소구조 (一般化複素構造, 영어 : generalized complex structure )라고 하며, 일반화 복소구조가 주어진 매끄러운 다양체를 일반화 복소다양체 (一般化複素多樣體, 영어 : generalized complex manifold )라고 한다.
순수 스피너
편집
n
{\displaystyle n}
벡터 공간
V
{\displaystyle V}
V
⊕
V
∗
{\displaystyle V\oplus V^{*}}
SO
(
n
,
n
)
{\displaystyle \operatorname {SO} (n,n)}
s
o
(
V
⊕
V
∗
)
≅
g
l
(
V
;
R
)
⊕
⋀
2
V
∗
⊕
⋀
2
V
{\displaystyle {\mathfrak {so}}(V\oplus V^{*})\cong {\mathfrak {gl}}(V;\mathbb {R} )\oplus \bigwedge ^{2}V^{*}\oplus \bigwedge ^{2}V}
이다.
V
⊕
V
∗
{\displaystyle V\oplus V^{*}}
외대수
⋀
∙
V
∗
{\displaystyle \textstyle \bigwedge ^{\bullet }V^{*}}
(
X
+
η
)
⋅
ϕ
=
ι
(
X
)
ϕ
+
ξ
∧
ϕ
{\displaystyle (X+\eta )\cdot \phi =\iota (X)\phi +\xi \wedge \phi }
이 경우
(
X
+
η
)
⋅
(
(
X
+
η
)
⋅
ϕ
)
=
⟨
X
,
η
⟩
ϕ
{\displaystyle (X+\eta )\cdot \left((X+\eta )\cdot \phi \right)=\langle X,\eta \rangle \phi }
이며, 이는 디랙 행렬 과 같은 형태이다. 이를 사용하여,
V
⊕
V
∗
{\displaystyle V\oplus V^{*}}
디랙 스피너 공간을 다음과 같이 표준적으로 나타낼 수 있다.
Δ
(
V
⊕
V
∗
)
≅
⋀
n
V
⊗
⋀
∙
V
∗
{\displaystyle \Delta (V\oplus V^{*})\cong {\sqrt {\bigwedge ^{n}V}}\otimes \bigwedge ^{\bullet }V^{*}}
이는 짝수 차원 디랙 스피너 공간이며, 이는 바일 스피너 공간의 직합 으로 나타낼 수 있다.
Δ
(
V
⊕
V
∗
)
=
Δ
+
(
V
⊕
V
∗
)
⊕
Δ
−
(
V
⊕
V
∗
)
{\displaystyle \Delta (V\oplus V^{*})=\Delta ^{+}(V\oplus V^{*})\oplus \Delta ^{-}(V\oplus V^{*})}
Δ
+
(
V
⊕
V
∗
)
≅
⋀
n
V
⊗
⋀
2
∙
V
∗
{\displaystyle \Delta ^{+}(V\oplus V^{*})\cong {\sqrt {\bigwedge ^{n}V}}\otimes \bigwedge ^{2\bullet }V^{*}}
Δ
−
(
V
⊕
V
∗
)
≅
⋀
n
V
⊗
⋀
2
∙
+
1
V
∗
{\displaystyle \Delta ^{-}(V\oplus V^{*})\cong {\sqrt {\bigwedge ^{n}V}}\otimes \bigwedge ^{2\bullet +1}V^{*}}
스피너
ϕ
∈
Δ
±
(
V
⊕
V
∗
)
{\displaystyle \phi \in \Delta ^{\pm }(V\oplus V^{*})}
dim
ker
(
⋅
ϕ
)
=
dim
{
X
+
η
∈
V
⊕
V
∗
:
(
X
+
η
)
⋅
ϕ
=
0
}
=
n
{\displaystyle \dim \ker(\cdot \phi )=\dim\{X+\eta \in V\oplus V^{*}\colon (X+\eta )\cdot \phi =0\}=n}
인 것을
V
⊕
V
∗
{\displaystyle V\oplus V^{*}}
순수 스피너 (純粹spinor, 영어 : pure spinor )라고 한다.
이 모든 정의들은 벡터 공간 대신, 매끄러운 다양체 위의 벡터 다발에 대하여 정의할 수 있다.
일반화 칼라비-야우 다양체
편집
매끄러운 다양체
M
{\displaystyle M}
T
M
⊕
T
∗
M
{\displaystyle \mathrm {T} M\oplus \mathrm {T} ^{*}M}
선다발 을 갖는다면,
(
M
,
E
)
{\displaystyle (M,E)}
일반화 칼라비-야우 다양체 라고 한다. 즉,
ϕ
∈
Ω
±
M
⊗
C
{\displaystyle \phi \in \Omega ^{\pm }M\otimes \mathbb {C} }
가
T
M
⊕
T
∗
M
{\displaystyle \mathrm {T} M\oplus \mathrm {T} ^{*}M}
d
ϕ
=
0
{\displaystyle d\phi =0}
⟨
ϕ
,
ϕ
¯
⟩
≠
0
{\displaystyle \langle \phi ,{\bar {\phi }}\rangle \neq 0}
M
{\displaystyle M}
일반화 칼라비-야우 다양체
(
M
,
ϕ
)
{\displaystyle (M,\phi )}
ker
(
⋅
ϕ
)
⊂
(
T
M
⊕
T
∗
M
)
⊗
C
{\displaystyle \ker(\cdot \phi )\subset (\mathrm {T} M\oplus \mathrm {T} ^{*}M)\otimes \mathbb {C} }
M
{\displaystyle M}
복소다양체
편집
모든 복소다양체 는 자명하게 일반화 복소다양체를 이루며, 모든 칼라비-야우 다양체 는 자명하게 일반화 칼라비-야우 다양체를 이룬다. 복소수
k
{\displaystyle k}
M
{\displaystyle M}
E
{\displaystyle E}
(
1
,
0
)
{\displaystyle (1,0)}
복소수 미분 형식 들의 다발의 직합이다.
E
=
T
+
M
⊕
Ω
1
,
0
M
{\displaystyle E=\mathrm {T} ^{+}M\oplus \Omega ^{1,0}M}
이 경우, 순수 스피너는
(
k
,
0
)
{\displaystyle (k,0)}
복소수 미분 형식 이며, 칼라비-야우 다양체의 경우 정칙 부피 형식
Ω
∈
Γ
(
Ω
k
,
0
M
)
{\displaystyle \Omega \in \Gamma (\Omega ^{k,0}M)}
심플렉틱 다양체
편집
모든 심플렉틱 다양체 역시 일반화 복소다양체를 이루며, 또한 일반화 칼라비-야우 다양체를 이룬다.
2
k
{\displaystyle 2k}
심플렉틱 다양체
(
M
,
ω
)
{\displaystyle (M,\omega )}
복소수 미분 형식 이다.
exp
(
i
ω
)
f
(
f
∈
C
∞
(
M
,
C
)
)
{\displaystyle \exp(\mathrm {i} \omega )f\qquad (f\in {\mathcal {C}}^{\infty }(M,\mathbb {C} ))}
순수 스피너의 다발은 항상 자명하므로, 이는 항상 일반화 칼라비-야우 다양체를 이룸을 알 수 있다. 이 경우, 일반화 정칙 접다발은 다음과 같은 꼴의 원소들로 구성된다.
X
−
i
ω
(
X
,
−
)
(
X
∈
Γ
(
T
M
)
)
{\displaystyle X-\mathrm {i} \omega (X,-)\qquad (X\in \Gamma (\mathrm {T} M))}
나이절 히친 이 2002년에 거울 대칭 을 다루기 위하여 도입하였다.[1] 이탈리아어 : Marco Gualtieri )가 박사 학위 논문에서 이를 체계적으로 연구하였다.[2]
참고 문헌
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외부 링크
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![{\displaystyle [X+\xi ,Y+\eta ]=[X,Y]+{\mathcal {L}}_{X}\eta -{\mathcal {L}}_{Y}\xi -{\frac {1}{2}}d(\langle X,\eta \rangle -\langle Y,\xi \rangle )}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/f7d068d82354bcaa435d5217fb3627703c794a7d)
이 부분의 본문은 순수 스피너입니다.
