자기 동형 사상

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수학에서, 자기 동형 사상(自己同型寫像, 영어: automorphism 오토모피즘^[*])은 자기 사상인 동형 사상이다. 어떤 대상의 대칭을 나타낸다.

정의편집

범주 ${\mathcal {C}}$ 의 자기 동형 사상은 자기 사상인 동형 사상이다. 즉, 다음 두 조건을 만족시키는 사상 $f\colon X\to Y$ 이다.

(자기 사상) 정의역과 공역이 같다. 즉, $X=Y$ 이다.
(동형 사상) $f\circ g=g\circ f=\operatorname {id} _{X}$ 인 $g\colon X\to X$ 가 존재한다.

국소적으로 작은 범주 ${\mathcal {C}}$ 의 대상 $X$ 가 주어졌을 때, $X$ 위의 자기 동형 사상들은 군을 이룬다. 이를 자기 동형군(自己同型群, 영어: automorphism group)이라고 하고, $\operatorname {Aut} (X)$ 로 쓴다.

성질편집

범주 ${\mathcal {C}}$ 의 대상 $X$ 의 자기 동형군 $\operatorname {Aut} (X)$ 는 $X$ 의 자기 사상 모노이드 $\operatorname {End} (X)$ 의 가역원들로 구성된 부분 모노이드이다.

예편집

집합의 범주에서, 집합 $S$ 의 자기 동형군은 대칭군 $\operatorname {Sym} (S)$ 이라고 한다.

체 $K$ 위의 벡터 공간의 범주 $K{\text{-Vect}}$ 에서, 벡터 공간 $V$ 의 자기 동형군은 일반선형군 $\operatorname {GL} (V;K)$ 이다.

갈루아 확대의 자기 동형군은 갈루아 군이라고 한다.

모노이드 $M$ 을 하나의 대상 $\bullet$ 을 갖는 범주로 간주하였을 때, 유일한 대상의 자기 동형군 $\operatorname {Aut} (\bullet )$ 은 $M$ 의 가역원들의 군

\{m\in M\colon \exists n\in M\colon mn=nm=1\}

이다. 특히, 만약 $M$ 이 군이라면, $\operatorname {Aut} (\bullet )\cong M$ 이다.

참고 문헌편집

Mac Lane, Saunders (1998). 《Categories for the working mathematician》. Graduate Texts in Mathematics (영어) 5 2판. Springer. doi:10.1007/978-1-4757-4721-8. ISBN 978-1-4419-3123-8. ISSN 0072-5285. MR 1712872. Zbl 0906.18001.

외부 링크편집

“Automorphism”. 《Encyclopedia of Mathematics》 (영어). Springer-Verlag. 2001. ISBN 978-1-55608-010-4.
“Algebraic system, automorphism of an”. 《Encyclopedia of Mathematics》 (영어). Springer-Verlag. 2001. ISBN 978-1-55608-010-4.
Weisstein, Eric Wolfgang. “Automorphism”. 《Wolfram MathWorld》 (영어). Wolfram Research.
Weisstein, Eric Wolfgang. “Automorphism group”. 《Wolfram MathWorld》 (영어). Wolfram Research.
“Automorphism”. 《nLab》 (영어).
“Automorphism group of a group”. 《Groupprops》 (영어).

같이 보기편집

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