자기 동형 사상

수학에서, 자기 동형 사상(自己同型寫像, 영어: automorphism 오토모피즘^[*])은 자기 사상인 동형 사상이다. 어떤 대상의 대칭을 나타낸다.

정의

범주 ${\mathcal {C}}$의 자기 동형 사상은 자기 사상인 동형 사상이다. 즉, 다음 두 조건을 만족시키는 사상 $f\colon X\to Y$이다.

• (자기 사상) 정의역과 공역이 같다. 즉, $X=Y$이다.
• (동형 사상) $f\circ g=g\circ f=\operatorname {id} _{X}$인 $g\colon X\to X$가 존재한다.

국소적으로 작은 범주 ${\mathcal {C}}$의 대상 $X$가 주어졌을 때, $X$ 위의 자기 동형 사상들은 군을 이룬다. 이를 자기 동형군(自己同型群, 영어: automorphism group)이라고 하고, $\operatorname {Aut} (X)$로 쓴다.

성질

범주 ${\mathcal {C}}$의 대상 $X$의 자기 동형군 $\operatorname {Aut} (X)$는 $X$의 자기 사상 모노이드 $\operatorname {End} (X)$의 가역원들로 구성된 부분 모노이드이다.

예

집합의 범주에서, 집합 $S$의 자기 동형군은 대칭군 $\operatorname {Sym} (S)$이라고 한다.

체 $K$ 위의 벡터 공간의 범주 $K{\text{-Vect}}$에서, 벡터 공간 $V$의 자기 동형군은 일반선형군 $\operatorname {GL} (V;K)$이다.

갈루아 확대의 자기 동형군은 갈루아 군이라고 한다.

모노이드 $M$을 하나의 대상 $\bullet$을 갖는 범주로 간주하였을 때, 유일한 대상의 자기 동형군 $\operatorname {Aut} (\bullet )$은 $M$의 가역원들의 군

$\{m\in M\colon \exists n\in M\colon mn=nm=1\}$

이다. 특히, 만약 $M$이 군이라면, $\operatorname {Aut} (\bullet )\cong M$이다.

참고 문헌

• Mac Lane, Saunders (1998). 《Categories for the working mathematician》. Graduate Texts in Mathematics (영어) 5 2판. Springer. doi:10.1007/978-1-4757-4721-8. ISBN 978-1-4419-3123-8. ISSN 0072-5285. MR 1712872. Zbl 0906.18001. 

외부 링크

• “Automorphism”. 《Encyclopedia of Mathematics》 (영어). Springer-Verlag. 2001. ISBN 978-1-55608-010-4. 
• “Algebraic system, automorphism of an”. 《Encyclopedia of Mathematics》 (영어). Springer-Verlag. 2001. ISBN 978-1-55608-010-4. 
• Weisstein, Eric Wolfgang. “Automorphism”. 《Wolfram MathWorld》 (영어). Wolfram Research. 
• Weisstein, Eric Wolfgang. “Automorphism group”. 《Wolfram MathWorld》 (영어). Wolfram Research. 
• “Automorphism”. 《nLab》 (영어). 
• “Automorphism group of a group”. 《Groupprops》 (영어). 

같이 보기

• 동형 사상
• 자기 사상
• 외부자기동형군
• 내부자기동형사상
• 프로베니우스 사상
• 대칭군 (군론)