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자기 수반 작용소

작용소 이론에서, 자기 수반 작용소(自己隨伴作用素, 영어: self-adjoint operator)는 스스로의 에르미트 수반이 자신과 같은 작용소이다.[1] 유한 차원에서의 에르미트 행렬을 일반화한 개념이다.

정의편집

 실수체 또는 복소수체 가운데 하나라고 하자.

 -힐베르트 공간   위의 조밀 부분 집합  가 주어졌다고 하자. 연속 선형 변환

 

에 대하여 다음 조건들이 서로 동치이며, 이를 만족시키는 것을   위의 자기 수반 작용소라고 한다.

 
  • 대칭 작용소이며,  이다.
  • 임의의  에 대하여,  이다. 또한, 임의의  에 대하여, 만약  라면,  이다.
    • 특히, 임의의  에 대하여,  유계 작용소이다. 이에 따라, 이는 연속 선형 범함수  로 유일하게 확장된다.
  •  이며, 모든  에 대하여  이다. 여기서  에르미트 수반이다.
  • 그래프   및 심플렉틱 사상  ,  에 대하여,  이다.
  • 다음 조건들을 모두 만족시키는 측도 공간  가측 함수  과 전단사 유니터리 작용소  가 존재한다. (여기서   와의 점별 곱셈이다.)
    •  
    •  

마지막 정의에서 등장하는 꼴의 작용소를 곱셈 연산자(영어: multiplication operator)라고 한다. 즉, 자기 수반 작용소는 어떤 측도 공간 위의 곱셈 연산자와 유니터리 동치인 작용소이다.

성질편집

단사 자기 수반 작용소의 역함수는 자기 수반 작용소이다.[1]:65

유한 차원 힐베르트 공간   위의 작용소  에 대하여, 다음이 서로 동치이다.

대칭 확장편집

대칭 작용소  자기 수반 확장(영어: self-adjoint extension)은 다음을 만족시키는 자기 수반 작용소  이다.

  •  
  •  

대칭 연산자  의 자기 수반 확장들은 다음과 같은 유니터리 작용소일대일 대응한다.[1]:81–84

 

(  의 닫힌 부분공간이므로, 힐베르트 공간을 이룬다.) 특히,  가 자기 수반 확장을 가질 필요 충분 조건

 

이다. 양변의 두 수를  결점 지표(영어: deficiency index)라고 한다.

유일한 자기 수반 확장을 갖는 대칭 작용소를 본질적 자기 수반 작용소(영어: essentially self-adjoint operator)라고 한다.

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제곱 적분 가능 함수로 구성된 복소수 힐베르트 공간

 

을 생각하자. 이 위에서, 작용소

 

를 생각하자. 만약  가 제곱 적분 가능 함수라도  가 제곱 적분 가능 함수일 필요는 없으므로,    전체에 정의될 수 없다. 즉,

 

이다. 이는  의 조밀 부분 공간이며, 임의의  에 대하여

 

이다. 따라서  대칭 작용소이다. 또한, 임의의  에 대하여, 만약

 

라고 하자. 즉,

 

이다. 그렇다면 리스 표현 정리에 따라서

 

이므로, 정의에 따라  이게 된다. 즉,  는 자기 수반 작용소이다.

곱셈 연산자편집

다음이 주어졌다고 하자.

  • 측도 공간  
  • 가측 함수   ( 보렐 시그마 대수)
  •  

그렇다면,   위에 작용소

 

를 정의할 수 있다. 이러한 꼴의 작용소를 곱셈 연산자라고 하자. 그렇다면, 다음이 성립한다.

  •   위의 모든 곱셈 연산자는 자기 수반 작용소이다.
  • 임의의  -힐베르트 공간   및 자기 수반 작용소  에 대하여,  이자  가 되는 측도 공간  가측 함수  와 (전단사) 유니터리 작용소  가 존재한다.

특히, 만약  이 유한 차원 힐베르트 공간이라고 하자. 그렇다면, 그 위의 자기 수반 작용소는   에르미트 행렬(또는 대칭 행렬)이며, 그 고윳값

 

들은 모두 실수이다. 이 경우

  •   (크기  이산 가측 공간)
  •   (셈측도)
  •  

가 된다.

참고 문헌편집

  1. Teschl, Gerald (2009). 《Mathematical methods in quantum mechanics with applications to Schrödinger operators》. Graduate Studies in Mathematics (영어) 99. American Mathematical Society. ISBN 978-0-8218-4660-5. MR 2499016. Zbl 1166.81004. 
  • 곽도영 (2010년 2월 5일). 《공업수학 탐구》. 교우사. ISBN 978-89-8172-378-1. 
  • Berezin, F. A.; Shubin, M. A. (1991). 《The Schrödinger equation》 (영어). Klüwer. 
  • Hall, B. C. (2013). 《Quantum theory for mathematicians》 (영어). New York: Springer-Verlag. 
  • Reed, M.; Simon, Barry (1972). 《Methods of Mathematical Physics, vol. 2》 (영어). Academic Press. 
  • Bonneau, Guy; Faraut, Jacques; Valent, Galliano (2001). “Self-adjoint extensions of operators and the teaching of quantum mechanics”. 《American Journal of Physics》 (영어) 69: 322–331. Bibcode:2001AmJPh..69..322B. arXiv:quant-ph/0103153. doi:10.1119/1.1328351. 

외부 링크편집