자유도 (통계학)

많은 과학 분야에서 시스템의 자유도는 독립적으로 달라질 수 있는 매개 변수의 개수이다. 예를 들어 평면의 한 점은 평행이동에 대해 2의 자유도를 가진다. 이는 점이 가진 두 개의 좌표를 말한다. 또한, 무한소(無限小)가 아닌 평면 위의 대상은 방향과 관련된 자유도를 추가로 가질 수 있다.

통계학에서 자유도(自由度, degrees of freedom,df)는 통계적 추정을 할 때 표본자료 중 모집단( $x$ )에 대한 정보를 주는 독립적인 자료의 수를 말한다.

크기가 $n$ 인 표본의 관측값( $x_{1},x_{2},\dots ,x_{n}$ )의 자유도는 $n-1$ 이다.^[1] 여기서 구한 표본 ${\bar {x}}$ (모집단 평균)에 대해서도 마찬가지이다.

분산 $s^{2}={\frac {\sum _{i=1}^{n}({\bar {x}}-x_{i})^{2}}{n-1}}$ 에 대해, ${\bar {x}}={\frac {1}{n}}\sum _{i=1}^{n}x_{i}$ 인 관계식(여기서 ${\bar {x}}$ 는 모집단의 평균 μ의 추정치이다)이 있기 때문에 자유도는 1 적은 n-1이 된다.

예시

어떤 실험에서 피험자들을 각 30명씩 4개 집단에 무선배치했을 때, 전체 자유도 $\left(df_{total}\right)$ ,집단내 자유도 $\left(df_{within}\right)$ ,집단간 자유도 $\left(df_{between}\right)$ 는 다음과 같다.

전체 자유도

df_{total}=\left(4\times 30\right)-1=119

집단내 자유도

df_{within}=4\times (30-1)=116

집단간 자유도

df_{between}=4-1=3

벡터확률

가정의 n변수 알레아토와르(aléatoires) 들의 같은 법과 독립적인 것이다. X₁,...\,X_n이다.

벡터 확률 $X$ 춤출 때마다 코디네(coordonnée)가 변수로 설정하는 공간이다. n크기\, 그래서 자연스럽게 그 값이 된다.n2도 자유이다.

우리는 기록 ${\bar {X}}$ 를 중간 치수이다. 이 벡터이다.

{\begin{pmatrix}X_{1}\\\vdots \\X_{n}\end{pmatrix}}={\bar {X}}{\begin{pmatrix}1\\\vdots \\1\end{pmatrix}}+{\begin{pmatrix}X_{1}-{\bar {X}}\\\vdots \\X_{n}-{\bar {X}}\end{pmatrix}}.

첫번째 매개체가 완전하게 결정된다. ${\bar {X}}$ ,그는 한도의 자유이다. 두번째 매개체는 다음 식을 만족할 것이다. $\sum _{i=1}^{n}(X_{i}-{\bar {X}})=0$ . 그래서에 정통한n-1a의 매개체는\, 우리가 추리하다.n^e:이 매개체가n-1도의 자유이다.