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자유 대상

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범주론추상대수학에서, 자유 대상(自由對象, 영어: free object)은 망각 함자왼쪽 수반 함자이다. 대략, 주어진 범주 속에서 특별한 제약을 가하지 않고 생성되는 가장 일반적인 대상으로 생각할 수 있다.

정의편집

구체적 범주  가 주어졌다고 하고, 망각 함자  왼쪽 수반 함자

 

가 존재한다고 하자. 이 경우, 집합  로부터 생성되는,   속의 자유 대상 에 대한  이다. 이 경우, 수반 함자의 정의에 따라 표준적 함수  가 존재하는데, 이를 표준적 단사 함수(영어: canonical injection)라고 한다.

구성편집

대수 구조 다양체의 범주  의 망각 함자는 항상 왼쪽 수반 함자를 가지며, 따라서 항상 자유 대상을 갖는다. 이를 자유 대수(영어: free algebra) 또는 항 대수(영어: term algebra)라고 한다.

구체적으로 이는 다음과 같이 정의된다. 대수 구조 다양체  의 연산들이  이며, 그 항수가  라고 하자. 또한,  에서 성립하는 대수적 관계들이  라고 하자. 또한, 임의의 집합  가 주어졌다고 하자. 그렇다면, 다음과 같은 일련의 집합들을 정의할 수 있다.

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  로 표기하자.  대수 구조 연산을  번 이하 적용하여 적을 수 있는 모든 항들의 집합이다. 그렇다면, 이들의 합집합

 

를 정의할 수 있다. 이는 대수 구조 연산을 유한번 적용하여 적을 수 있는 모든 항들의 집합이다.

 를 정의하는 대수적 관계들은   위의 동치 관계  로 생각할 수 있다. (즉, 대수적 관계에서 등장하는 변수들을  의 임의의 원소들로 치환한다.) 그렇다면,  로부터 생성되는 자유 대수  몫집합  이다. 이 위의 대수 연산은 다음과 같다.

 

여기서  은 동치 관계  에 대한 동치류이다.

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대수 구조 다양체에서의 자유 대상은 다음이 있다.

대수 구조 다양체가 아닌 구체적 범주의 경우, 다음과 같은 예가 있다.

외부 링크편집

같이 보기편집