자유 대상

범주론과 추상대수학에서 자유 대상(自由對象, 영어: free object)은 망각 함자의 왼쪽 수반 함자의 상이다. 대략, 주어진 범주 속에서 특별한 제약을 가하지 않고 생성되는 가장 일반적인 대상으로 생각할 수 있다.

정의

구체적 범주 $\operatorname {Forget} \colon {\mathcal {C}}\to \operatorname {Set}$가 주어졌다고 하고, 망각 함자 $\operatorname {Forget}$의 왼쪽 수반 함자

$F\dashv \operatorname {Forget}$

가 존재한다고 하자. 이 경우, 집합 $S$로부터 생성되는, ${\mathcal {C}}$ 속의 자유 대상은 $F$에 대한 상 $F(S)$이다. 이 경우, 수반 함자의 정의에 따라 표준적 함수 $S\to \operatorname {Forget} (F(S))$가 존재하는데, 이를 표준적 단사 함수(영어: canonical injection)라고 한다.

구성

대수 구조 다양체의 범주 ${\mathcal {V}}$의 망각 함자는 항상 왼쪽 수반 함자를 가지며, 따라서 항상 자유 대상을 갖는다. 이를 자유 대수(영어: free algebra) 또는 항 대수(영어: term algebra)라고 한다.

구체적으로 이는 다음과 같이 정의된다. 대수 구조 다양체 ${\mathcal {V}}$의 연산들이 $(f_{i})_{i\in I}$이며, 그 항수가 $n_{i}$라고 하자. 또한, ${\mathcal {V}}$에서 성립하는 대수적 관계들이 $(R_{j})_{j\in J}$라고 하자. 또한, 임의의 집합 $S$가 주어졌다고 하자. 그렇다면, 다음과 같은 일련의 집합들을 정의할 수 있다.

• $T_{0}=S$
• $T_{r+1}=T_{r}\sqcup \bigsqcup _{i\in I}\overbrace {T_{r}\times \cdots \times T_{r}} ^{n_{i}}$

$(t_{1},\dots ,t_{n_{i}})\in T_{r}\times \cdots \times T_{r}$를 $f_{i}(t_{1},\dots ,t_{n_{i}})$로 표기하자. $T_{r}$는 대수 구조 연산을 $r$번 이하 적용하여 적을 수 있는 모든 항들의 집합이다. 그렇다면, 이들의 합집합

$T=\bigcup _{i=0}^{\infty }T_{i}$

를 정의할 수 있다. 이는 대수 구조 연산을 유한번 적용하여 적을 수 있는 모든 항들의 집합이다.

${\mathcal {V}}$를 정의하는 대수적 관계들은 $T$ 위의 동치 관계 $\sim$로 생각할 수 있다. (즉, 대수적 관계에서 등장하는 변수들을 $S$의 임의의 원소들로 치환한다.) 그렇다면, $S$로부터 생성되는 자유 대수 $\langle S\rangle$는 몫집합 $T/{\sim }$이다. 이 위의 대수 연산은 다음과 같다.

$f_{i}([t_{1}],[t_{2}],\dots ,[t_{n_{i}}])=[f_{i}(t_{1},\dots ,t_{n_{i}})]$

여기서 $[-]$은 동치 관계 $\sim$에 대한 동치류이다.

예

대수 구조 다양체에서의 자유 대상은 다음이 있다.

• 집합의 범주: 집합 $S$ 위의 "자유 집합"은 $S$ 자신이다.
• 점을 가진 집합의 범주: 집합 $S$ 위의 "자유 점을 가진 집합"은 $S\sqcup \{\bullet \}$이다.
• 모노이드의 범주: 클레이니 스타 $S^{*}$
• 군의 범주: 자유군
• 아벨 군의 범주: 자유 아벨 군 $\mathbb {Z} ^{\oplus |S|}$
• 가환환 $R$ 위의 왼쪽 가군의 범주: 집합 $S$ 위의 자유 가군 $R^{\oplus |S|}$
  • 만약 $R=K$가 나눗셈환일 경우, 모든 가군이 자유 가군이며, 이를 벡터 공간이라고 한다. 이 경우, 집합 $S$ 위의 자유 가군은 $S$를 기저로 하는 벡터 공간 $\operatorname {Span} _{K}S$이다.
• 체 $K$ 위의 단위 결합 대수의 범주: 집합 $S$ 위의 자유 단위 결합 대수는 $S$를 기저로 하는 벡터 공간 $\operatorname {Span} _{K}S$ 위의 텐서 대수 $T(\operatorname {Span} _{K}S)$이다.
• 체 $K$ 위의 가환 대수의 범주: 다항식환 $K[S]$
• 체 $K$ 위의 리 대수의 범주: 자유 리 대수

대수 구조 다양체가 아닌 구체적 범주의 경우, 다음과 같은 예가 있다.

• 위상 공간의 범주 $\operatorname {Top}$: 이산 공간
• 콤팩트 하우스도르프 공간의 범주 $\operatorname {CompHaus}$: 집합 $S$에 대응하는 자유 콤팩트 하우스도르프 공간은 이산 공간 $S$의 스톤-체흐 콤팩트화이다.

외부 링크

• “Free algebra”. 《Encyclopedia of Mathematics》 (영어). Springer-Verlag. 2001. ISBN 978-1-55608-010-4. 
• “Free algebraic system”. 《Encyclopedia of Mathematics》 (영어). Springer-Verlag. 2001. ISBN 978-1-55608-010-4. 
• Weisstein, Eric Wolfgang. “Free”. 《Wolfram MathWorld》 (영어). Wolfram Research. 
• “Free object”. 《nLab》 (영어). 
• “Free functor”. 《nLab》 (영어). 
• “Free monad”. 《nLab》 (영어). 

같이 보기

• 모나드