작용소 노름

함수해석학에서 작용소 노름(作用素norm, 영어: operator norm)은 두 노름 공간 사이의 유계 작용소에 대하여 정의되는 노름이다.

두 노름 공간 사이의 유계 작용소는 단위 벡터를 어떤 유한한 길이 이상으로 늘리지 못하는, 두 노름 공간 사이의 선형 변환인데, 유계 작용소가 단위 벡터를 늘리는 최댓값을 그 작용소 노름이라고 한다. 즉, 작용소 노름이 c인 작용소는 임의의 벡터의 길이를 c배 초과로 늘리지 못한다.

정의

$\mathbb {K} \in \{\mathbb {R} ,\mathbb {C} \}$가 실수체 또는 복소수체 가운데 하나이며, $V$와 $W$가 $\mathbb {K}$-노름 공간이라고 하자. 그렇다면, 이들 사이의 선형 변환 $T\colon V\to W$에 대하여, 다음과 같은 음이 아닌 확장된 실수를 정의할 수 있으며, 이를 $T$의 작용소 노름이라고 한다.^{:69, Example III.1.4:92–93, Theorem 4.1; 95, Theorem 4.4}

${\begin{aligned}\|T\|&=\sup _{v\in V\setminus \{0\}}{\frac {\|Tv\|_{W}}{\|v\|_{V}}}\\&=\sup _{v\in V\setminus \{0\}}\|T(v/\|v\|_{V})\|_{W}\\&=\inf \left\{c\in [0,\infty )\colon \|Tv\|_{W}\leq c\|v\|_{V}\forall v\in V\right\}\\&=\inf \left\{c\in [0,\infty ):{\frac {\|Tv\|_{W}}{\|v\|_{V}}}\leq c\forall v\in V\setminus \{0\}\right\}\\&=\sup _{v\in V,\;\|v\|_{V}=1}\|Tv\|_{W}\\&\in [0,\infty ]\end{aligned}}$

위 상계(또는 하계)는 일반적으로 포화되지 못할 수 있다.

성질

작용소 노름은 유계 작용소 위의 노름이다. 즉, 아래의 성질을 만족시킨다.

$\|T\|=0\iff T=0\qquad \forall T\in \operatorname {B} (V,W)$

$\|aT\|=|a|\|T\|\qquad \forall a\in \mathbb {K} ,\;T\in \operatorname {B} (V,W)$

(삼각 부등식) $\|T+U\|\leq \|T\|+\|U\|\qquad \forall T,U\in \operatorname {B} (V,W)$

두 $\mathbb {K}$-노름 공간 $V$와 $W$ 사이의 임의의 $\mathbb {K}$-선형 변환 $T\in \hom _{\mathbb {K} }(V,W)$에 대하여 다음 네 조건이 서로 동치이다.^{:24, Theorem 1.32}

• $T$는 유계 작용소이다.
• $T$는 ($V$와 $W$의 위상에 대하여) 연속 함수이다.
• ($V$와 $W$의 덧셈 위상군 균등 공간 구조에 대하여) 균등 연속 함수이다.
• $T$는 ($V$와 $W$의 노름 거리 함수에 대하여) 립시츠 연속 함수이다.
• $T$의 작용소 노름이 유한하다. 즉, $\|T\|<\infty$이다.

이 가운데 ‘립시츠 연속 ⇒ 균등 연속 ⇒ 연속’은 자명하다.

증명 (유한 노름 ⇒ 립시츠 연속):

유한한 노름의 작용소 $T$가 주어졌을 때, 임의의 $u,v\in V$에 대하여,

$d(Tu,Tv)=\|Tu-Tv\|=\|T(u-v)\|\leq \|T\|d(u,v)$

이므로, $T$는 립시츠 상수 $\|T\|$에 대하여 립시츠 연속 함수이다.

증명 (연속 ⇒ 유한 노름):

연속 작용소 $T$가 주어졌다고 하자. 연속성의 정의에 따라,

$T\left(\operatorname {ball} _{V}(0,\delta )\right)\subseteq \operatorname {ball} _{W}(0,1)$

인 양의 실수 $\delta \in \mathbb {R} ^{+}$가 존재한다. (여기서 $\operatorname {ball} (x,r)$는 열린 공을 뜻한다.)

그렇다면, 연속성에 따라, 임의의 $v\in V\setminus \{0\}$에 대하여, $\delta v/2\|v\|\in \operatorname {ball} _{V}(0,\delta )$이므로,

$\|Tv\|={\frac {2\|v\|}{\delta }}\cdot \|T(\delta v/2\|v\|)\|\leq {\frac {2\|v\|}{\delta }}$

이다. 즉,

$\|T\|\leq {\frac {2}{\delta }}<\infty$

이다.

같이 보기

• 페아노의 정리

외부 링크

• Weisstein, Eric Wolfgang. “Operator norm”. 《Wolfram MathWorld》 (영어). Wolfram Research.