범주
C
{\displaystyle {\mathcal {C}}}
가 시작 대상
1
∈
C
{\displaystyle 1\in {\mathcal {C}}}
을 갖는다고 하자.
C
{\displaystyle {\mathcal {C}}}
위의 점을 가진 범주 (영어 : pointed category )
C
∙
{\displaystyle {\mathcal {C}}_{\bullet }}
는 쌍대 조각 범주
1
∖
C
{\displaystyle 1\backslash {\mathcal {C}}}
이다. 즉,
C
∙
{\displaystyle {\mathcal {C}}_{\bullet }}
의 대상은
C
{\displaystyle {\mathcal {C}}}
의 사상
∙
X
:
1
→
X
{\displaystyle \bullet _{X}\colon 1\to X}
이다. 이는
X
{\displaystyle X}
와 그 속의 "점"
∙
X
{\displaystyle \bullet _{X}}
의 순서쌍
(
X
,
∙
X
)
{\displaystyle (X,\bullet _{X})}
으로 생각할 수 있다. 이를
X
{\displaystyle X}
의 밑점 (-點, 영어 : basepoint )이라고 한다.
C
∙
{\displaystyle {\mathcal {C}}_{\bullet }}
의 대상
(
X
,
∙
X
)
,
(
Y
,
∙
Y
)
∈
C
∙
{\displaystyle (X,\bullet _{X}),(Y,\bullet _{Y})\in {\mathcal {C}}_{\bullet }}
사이의 사상
f
:
(
X
,
∙
X
)
→
(
Y
,
∙
Y
)
{\displaystyle f\colon (X,\bullet _{X})\to (Y,\bullet _{Y})}
은 다음 그림을 가환하게 하는
C
{\displaystyle {\mathcal {C}}}
에서의 사상
f
:
X
→
Y
{\displaystyle f\colon X\to Y}
이다.
1
→
∙
X
X
∙
Y
↘
↓
f
Y
{\displaystyle {\begin{matrix}1&{\xrightarrow {\bullet _{X}}}&X\\&{\scriptstyle \bullet _{Y}}\!\!\searrow &\downarrow \scriptstyle f\\&&Y\end{matrix}}}
즉, 점을 가진 범주에서의 사상은 점을 보존하는 사상이다.
시작 대상
1
∈
C
{\displaystyle 1\in {\mathcal {C}}}
을 가진 범주
C
{\displaystyle {\mathcal {C}}}
위의 점을 가진 범주
C
∙
{\displaystyle {\mathcal {C}}_{\bullet }}
는 항상 영 대상
1
∈
C
∙
{\displaystyle 1\in {\mathcal {C}}_{\bullet }}
을 가진다.
영 대상 을 가진 범주
C
{\displaystyle {\mathcal {C}}}
위의 점을 가진 범주는
C
{\displaystyle {\mathcal {C}}}
와 동치 이다. 즉, 범주
C
{\displaystyle {\mathcal {C}}}
에 대하여 다음 두 조건이 서로 동치 이다.
C
{\displaystyle {\mathcal {C}}}
는 영 대상 을 가진다.
C
≃
D
∙
{\displaystyle {\mathcal {C}}\simeq {\mathcal {D}}_{\bullet }}
인, 시작 대상을 가진 범주
D
{\displaystyle {\mathcal {D}}}
가 존재한다.
시작 대상
1
∈
C
{\displaystyle 1\in {\mathcal {C}}}
을 가진 범주
C
{\displaystyle {\mathcal {C}}}
위의 점을 가진 범주
C
∙
{\displaystyle {\mathcal {C}}_{\bullet }}
는 원래 범주
C
{\displaystyle {\mathcal {C}}}
로 가는 자연스러운 망각 함자
F
:
C
∙
→
C
{\displaystyle F\colon {\mathcal {C}}_{\bullet }\to {\mathcal {C}}}
를 갖는다.
만약
C
{\displaystyle {\mathcal {C}}}
가 유한 쌍대 완비 범주 라면, 망각 함자는 왼쪽 수반 함자
(
−
)
+
:
C
→
C
∙
{\displaystyle (-)_{+}\colon {\mathcal {C}}\to {\mathcal {C}}_{\bullet }}
(
−
)
+
:
(
X
∈
C
)
↦
X
+
=
(
X
⊔
1
,
1
↪
X
⊔
1
)
{\displaystyle (-)_{+}\colon (X\in {\mathcal {C}})\mapsto X_{+}=(X\sqcup 1,1\hookrightarrow X\sqcup 1)}
(
−
)
+
⊣
F
{\displaystyle (-)_{+}\dashv F}
를 갖는다. 이를 밑점 추가 (영어 : adjoining disjoint basepoint )라고 한다.
(
C
,
⊗
)
{\displaystyle ({\mathcal {C}},\otimes )}
가 유한 완비 유한 쌍대 완비 닫힌 모노이드 범주 라고 하자. 그렇다면
C
∙
{\displaystyle {\mathcal {C}}_{\bullet }}
역시 닫힌 모노이드 범주 를 이룬다.
C
∙
{\displaystyle {\mathcal {C}}_{\bullet }}
에서의 텐서곱은 분쇄곱 (영어 : smash product )
∧
{\displaystyle \wedge }
이라고 한다. 또한, 만약
(
C
,
⊗
)
{\displaystyle ({\mathcal {C}},\otimes )}
가 대칭 모노이드 범주 라면
(
C
∙
,
∧
)
{\displaystyle ({\mathcal {C}}_{\bullet },\wedge )}
역시 대칭 모노이드 범주 이다.
구체적으로,
C
∙
{\displaystyle {\mathcal {C}}_{\bullet }}
속의 두 대상
(
X
,
∙
X
)
{\displaystyle (X,\bullet _{X})}
,
(
Y
,
∙
Y
)
{\displaystyle (Y,\bullet _{Y})}
의 분쇄곱
(
X
,
∙
X
)
∧
(
Y
,
∙
Y
)
{\displaystyle (X,\bullet _{X})\wedge (Y,\bullet _{Y})}
은 다음과 같은 밂 이다.
(
X
⊗
1
)
⊔
(
1
⊗
Y
)
→
1
↓
↓
X
⊗
Y
→
X
∧
Y
{\displaystyle {\begin{matrix}(X\otimes 1)\sqcup (1\otimes Y)&\to &1\\\downarrow &&\downarrow \\X\otimes Y&\to &X\wedge Y\end{matrix}}}
이 네모의 왼쪽 변은
⊗
∙
Y
:
X
⊗
1
→
X
⊗
Y
{\displaystyle \otimes \bullet _{Y}\colon X\otimes 1\to X\otimes Y}
∙
X
⊗
:
1
⊗
Y
→
X
⊗
Y
{\displaystyle \bullet _{X}\otimes \colon 1\otimes Y\to X\otimes Y}
로부터 유도되는 사상
(
⊗
∙
Y
)
⊔
(
∙
X
⊗
)
:
(
X
⊗
1
)
⊔
(
1
⊗
Y
)
→
X
⊗
Y
{\displaystyle (\otimes \bullet _{Y})\sqcup (\bullet _{X}\otimes )\colon (X\otimes 1)\sqcup (1\otimes Y)\to X\otimes Y}
이다.
C
∙
{\displaystyle {\mathcal {C}}_{\bullet }}
에서의 지수 대상
[
−
,
−
]
∙
{\displaystyle [-,-]_{\bullet }}
은 다음과 같은 당김 이다.
[
X
,
Y
]
∙
→
1
↓
↓
∙
Y
[
X
,
Y
]
→
∘
∙
X
[
1
,
Y
]
{\displaystyle {\begin{matrix}[X,Y]_{\bullet }&\to &1\\\downarrow &&\downarrow \scriptstyle {\bullet _{Y}}\\{}[X,Y]&{\xrightarrow[{\circ {\bullet _{X}}}]{}}&[1,Y]\end{matrix}}}
[
X
,
Y
]
∙
{\displaystyle [X,Y]_{\bullet }}
의 점은 유일한 사상
X
→
1
→
∙
Y
Y
{\displaystyle X\to 1{\xrightarrow {\bullet _{Y}}}Y}
에 대응한다.
집합 의 범주에서, 시작 대상 은 한원소 집합 이다. 따라서, 점을 가진 집합 (영어 : pointed set )의 범주
Set
∙
{\displaystyle \operatorname {Set} _{\bullet }}
의 원소는 집합
S
{\displaystyle S}
와 그 속의 원소
∙
S
∈
S
{\displaystyle \bullet _{S}\in S}
의 순서쌍
(
S
,
∙
S
)
{\displaystyle (S,\bullet _{S})}
이다.
점을 가진 집합의 범주는 대수 구조 다양체 의 범주이다. 즉, 점을 가진 집합은 하나의 0항 연산을 가진 대수 구조 로 생각할 수 있다. (이 대수 구조 다양체 에서는 자명하지 않은 대수적 관계가 존재하지 않는다.)
위상 공간 의 범주
Top
{\displaystyle \operatorname {Top} }
에서 끝 대상 은 한원소 공간
{
∙
}
{\displaystyle \{\bullet \}}
이며, 한원소 공간에서 위상 공간
X
{\displaystyle X}
로 가는 연속 함수
{
∙
}
→
X
{\displaystyle \{\bullet \}\to X}
는
X
{\displaystyle X}
속의 한 점
∙
X
∈
X
{\displaystyle \bullet _{X}\in X}
을 제시하는 것과 같다. 즉, 점을 가진 공간 (영어 : pointed space )
(
X
,
x
0
)
{\displaystyle (X,x_{0})}
은 위상 공간
X
{\displaystyle X}
와 그 속의 한 점
x
0
∈
X
{\displaystyle x_{0}\in X}
로 구성된 순서쌍 이며, 점을 가진 공간의 범주
T
o
p
∙
{\displaystyle \operatorname {Top_{\bullet }} }
의 사상인 점을 보존하는 연속 함수 (영어 : basepoint-preserving continuous map )
f
:
(
X
,
∙
X
)
→
(
Y
,
∙
Y
)
{\displaystyle f\colon (X,\bullet _{X})\to (Y,\bullet _{Y})}
는
f
(
∙
X
)
=
∙
Y
{\displaystyle f(\bullet _{X})=\bullet _{Y}}
인 연속 함수 이다.
군 의 범주
Grp
{\displaystyle \operatorname {Grp} }
나 아벨 군 의 범주
Ab
{\displaystyle \operatorname {Ab} }
, 나아가 임의의 아벨 범주 는 모두 영 대상 을 가지므로 그 위의 점을 가진 범주는 원래 범주와 동치이다.
예를 들어, 모든 군 또는 아벨 군
G
{\displaystyle G}
에 대하여, 항등원
1
G
∈
G
{\displaystyle 1_{G}\in G}
는 그 "점"을 이룬다.