주 메뉴 열기

호모토피 이론에서, 점을 가진 공간(영어: pointed space)은 위상 공간과 그 속의 한 점으로 이루어진 순서쌍이다.

목차

정의편집

범주  끝 대상  을 갖는다고 하자.

  위의 점을 가진 범주(영어: pointed category)  쌍대 조각 범주  이다. 즉,

  •  의 대상은  의 사상  이다. 이는  와 그 속의 "점"  의 순서쌍으로 생각할 수 있다. 이를  밑점(-點, 영어: basepoint)이라고 한다.
  •  의 대상   사이의 사상  은 다음 그림을 가환하게 하는  에서의 사상  이다.
     

즉, 점을 가진 범주에서의 사상은 점을 보존하는 사상이다.

성질편집

시작 대상  을 가진 범주   위의 점을 가진 범주  는 항상 영 대상  을 가진다.

영 대상을 가진 범주   위의 점을 가진 범주는  동치이다. 즉, 범주  에 대하여 다음 두 조건이 서로 동치이다.

  •  영 대상을 가진다.
  •  인, 시작 대상을 가진 범주  가 존재한다.

망각 함자편집

시작 대상  을 가진 범주   위의 점을 가진 범주  는 원래 범주  로 가는 자연스러운 망각 함자

 

를 갖는다.

만약  유한 쌍대 완비 범주라면, 망각 함자는 왼쪽 수반 함자

 
 
 

를 갖는다. 이를 밑점 추가(영어: adjoining disjoint basepoint)라고 한다.

분쇄곱편집

 유한 완비 유한 쌍대 완비 닫힌 모노이드 범주라고 하자. 그렇다면   역시 닫힌 모노이드 범주를 이룬다.  에서의 텐서곱은 분쇄곱(영어: smash product)  이라고 한다. 또한, 만약  대칭 모노이드 범주라면   역시 대칭 모노이드 범주이다.

구체적으로,   속의 두 대상  ,  분쇄곱  은 다음과 같은 이다.

 

이 네모의 왼쪽 변은

 
 

로부터 유도되는 사상

 

이다.

 에서의 지수 대상  은 다음과 같은 당김이다.

 

 의 점은 유일한 사상  에 대응한다.

편집

점을 가진 집합편집

집합의 범주에서, 시작 대상한원소 집합이다. 따라서, 점을 가진 집합(영어: pointed set)의 범주  의 원소는 집합  와 그 속의 원소  의 순서쌍  이다.

점을 가진 집합의 범주는 대수 구조 다양체의 범주이다. 즉, 점을 가진 집합은 하나의 0항 연산을 가진 대수 구조로 생각할 수 있다. (이 대수 구조 다양체에서는 자명하지 않은 대수적 관계가 존재하지 않는다.)

점을 가진 공간편집

위상 공간의 범주  에서 끝 대상한원소 공간  이며, 한원소 공간에서 위상 공간  로 가는 연속 함수    속의 한 점  을 제시하는 것과 같다. 즉, 점을 가진 공간(영어: pointed space)  위상 공간  와 그 속의 한 점  로 구성된 순서쌍이며, 점을 가진 공간의 범주  의 사상인 점을 보존하는 연속 함수(영어: basepoint-preserving continuous map)  

 

연속 함수이다.

영 대상을 가진 범주편집

의 범주  아벨 군의 범주  , 나아가 임의의 아벨 범주는 모두 영 대상을 가지므로 그 위의 점을 가진 범주는 원래 범주와 동치이다.

예를 들어, 모든 또는 아벨 군  에 대하여, 항등원  는 그 "점"을 이룬다.

외부 링크편집