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유클리드 평면에 매장된 원의 접다발의 형상화.
3차원 유클리드 공간에 매장된 의 접공간은 유클리드 공간 속의 평면으로 형상화된다.

미분기하학에서, 매끄러운 다양체접다발(接-, 영어: tangent bundle)은 각 점 위의 접공간들의 서로소 합집합들로 구성된 벡터 다발이다.

정의편집

  차원 매끄러운 다양체라고 하고, 그 매끄러운 국소 좌표계

 

가 주어졌다고 하자 (  열린 덮개).

그렇다면,  접다발은 다음과 같은 위상 공간이다.

 

여기서, 각 성분들을 이어붙이는 동치 관계  은 다음과 같다.

 

여기서    번째 성분이다.

그렇다면, 이는 자연스러운 사영 사상

 
 

을 통해   위의 매끄러운 벡터 다발을 이룬다.

 접공간(接空間, 영어: tangent space)  은 접다발의 이다. 만약  에서 어떤 유클리드 공간으로의 (매끄러운) 몰입이 주어졌다면, 이는  에 "접하는"  차원 초평면으로 여길 수 있다.

매끄러운 다양체  의 접다발의 쌍대 벡터 다발  공변접다발(共變接- 영어: cotangent bundle) 또는 여접다발(餘接-)이라고 한다. 이는 보다 직접적으로

 
 

와 같이 정의될 수 있다. 마찬가지로,  공변접공간(共變接空間, 영어: cotangent space)  은 공변접다발의 이다.

벡터장과 텐서장편집

 의 접다발  매끄러운 단면벡터장이라고 한다.  의 공변접다발  매끄러운 단면1차 미분 형식이라고 한다.  의 접다발과 공변접다발들의 텐서곱

 

매끄러운 단면 차 텐서장이라고 한다.

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만약 어떤 매끄러운 다양체  의 (공변)접다발이 자명한 벡터 다발이라면,  평행화 가능 다양체(영어: parallelizable manifold)라고 한다. 초구   가운데 평행화 가능 다양체인 것은  ,  ,  ,   밖에 없다.

모든 3차원 가향 다양체는 평행화 가능 다양체이다.

리만 다양체편집

준 리만 다양체  의 경우, 각 점  에서 접다발과 공변접다발 사이의 동형 사상

 
 
 
 

이 존재하며, 이는 접다발과 공변접다발 사이의 매끄러운 벡터 다발 동형 사상을 정의한다. 이를 음악 동형(音樂同形, 영어: musical isomorphism)이라고 한다.

여기서 "음악"이라는 어원은 악보올림표(♯)와 내림표(♭) 기호를 사용하기 때문이다. 이러한 기호를 사용하는 이유는, 보통 접다발의 단면은 윗첨자( ), 공변접다발의 단면은 아랫첨자( )로 표기하므로,  은 윗첨자를 아랫첨자로 "내리고",  는 아랫첨자를 윗첨자로 "올리기" 때문이다.

참고 문헌편집

관련 항목편집

외부 링크편집