군론에서, 정규핵(正規核, 영어: normal core)은 주어진 부분군의 모든 켤레 부분군의 교집합이다.
군 G {\displaystyle G} 의 부분군 H ≤ G {\displaystyle H\leq G} 의 정규핵 Core G ( H ) {\displaystyle \operatorname {Core} _{G}(H)} 는 다음과 같다.
즉, 이는 왼쪽 잉여류의 집합 G / H {\displaystyle G/H} 위의 왼쪽 곱셈 작용
의 핵이다.
군 G {\displaystyle G} 및 부분군 H ≤ G {\displaystyle H\leq G} 에 대하여, 정규핵 Core G ( H ) {\displaystyle \operatorname {Core} _{G}(H)} 은 H {\displaystyle H} 에 포함되는 G {\displaystyle G} 의 가장 큰 정규 부분군이다. 즉,
이며, 만약 K ⊲ G {\displaystyle K\vartriangleleft G} 이며 K ⊆ H {\displaystyle K\subseteq H} 라면, K ⊆ Core G ( H ) {\displaystyle K\subseteq \operatorname {Core} _{G}(H)} 이다.
만약 유한군 G {\displaystyle G} 의 부분군 H ≤ G {\displaystyle H\leq G} 의 지표 | G | / | N | = p {\displaystyle |G|/|N|=p} 가 | G | {\displaystyle |G|} 의 최소 소인수라면, N {\displaystyle N} 은 G {\displaystyle G} 의 정규 부분군이다.
증명:
이는 N = Core G ( N ) {\displaystyle N=\operatorname {Core} _{G}(N)} 임을 보이는 것으로 족하다. Core G ( N ) {\displaystyle \operatorname {Core} _{G}(N)} 은 군의 작용
의 핵이므로, 몫군 G / Core G ( N ) {\displaystyle G/\operatorname {Core} _{G}(N)} 은 대칭군 Sym ( p ) {\displaystyle \operatorname {Sym} (p)} 의 부분군과 동형이다. 라그랑주 정리에 의하여 | G | / | Core G ( N ) | {\displaystyle |G|/|{\operatorname {Core} _{G}(N)}|} 은 p ! {\displaystyle p!} 의 약수이며, 따라서
은 ( p − 1 ) ! {\displaystyle (p-1)!} 의 약수이다. 또한 | N | / | Core G ( N ) | {\displaystyle |N|/|{\operatorname {Core} _{G}(N)}|} 은 | G | {\displaystyle |G|} 의 약수이며, p {\displaystyle p} 는 | G | {\displaystyle |G|} 의 최소 소인수이므로, | N | / | Core G ( N ) | = 1 {\displaystyle |N|/|{\operatorname {Core} _{G}(N)}|=1} 이다. 즉, N = Core G ( N ) {\displaystyle N=\operatorname {Core} _{G}(N)} 이다.
