정규핵

군론에서 정규핵(正規核, 영어: normal core)은 주어진 부분군의 모든 켤레 부분군의 교집합이다.

정의

군 $G$의 부분군 $H\leq G$의 정규핵 $\operatorname {Core} _{G}(H)$는 다음과 같다.

$\operatorname {Core} _{G}(H)=\bigcap _{g\in G}gHg^{-1}$

즉, 이는 왼쪽 잉여류의 집합 $G/H$ 위의 왼쪽 곱셈 작용

$G\to \operatorname {Sym} (G/H)$

$g\mapsto (g'H\mapsto gg'H)\qquad (g,g'\in G)$

의 핵이다.

성질

군 $G$의 부분군 $H\leq G$의 정규핵 $\operatorname {Core} _{G}(H)$은 $H$의 부분군이며, $G$의 정규 부분군이다. 또한 $\operatorname {Core} _{G}(H)$는 $G$의 정규 부분군인 $H$의 부분군 가운데 가장 크다.

$\operatorname {Core} _{G}(H)\leq H$

$\operatorname {Core} _{G}(H)\vartriangleleft G$

특히, 군 $G$의 부분군 $H\leq G$에 대하여, 다음 두 조건이 서로 동치이다.

• 정규 부분군이다.
• 스스로의 정규핵이다. $H=\operatorname {Core} _{G}(H)$

외부 링크

• “Normal core”. 《Groupprops》 (영어).