정규 확대

체론에서 정규 확대(正規擴大, 영어: normal extension)는 일련의 다항식들의 분해체인 대수적 확대이다.

정의

체 $K$의 대수적 확대 $L/K$에 대하여, 다음 세 조건들이 서로 동치이며, 이를 만족시키는 대수적 확대를 정규 확대라고 한다.

• $K[x]$의 기약 다항식 $p(x)$가 $L$에서 적어도 하나의 근을 갖는다고 하면, $p(x)$는 $L[x]$에서 완전히 인수분해된다. 즉, $p(x)=a\prod _{i=1}^{n}(x-b_{i})$ ($a,b_{i}\in L$)의 꼴로 나타낼 수 있다.
• $L/K$는 일련의 다항식들의 집합 $P\subset K[x]$의 분해체와 ($K$의 확대로서) 동형이다.
• 모든 매장 $L\to {\bar {K}}$는 $L$의 자기 동형 사상으로부터 유도된다. 구체적으로, 확대 매장을 $\iota _{KL}\colon K\to L$로 쓰자. $K$의 대수적 폐포 $\iota _{K{\bar {K}}}\colon K\hookrightarrow {\bar {K}}$로 가는 매장 $\iota _{L{\bar {K}}}\colon L\hookrightarrow {\bar {K}}$이 주어졌다고 하고, 또한 $\iota _{L{\bar {K}}}\circ \iota _{KL}=\iota _{K{\bar {K}}}$라고 하자. 또한, $L$은 대수적 확대이므로, 그 최소 다항식들로부터 매장 ${\tilde {\iota }}_{LK}\colon L\to K$를 정의할 수 있다. 그렇다면 $\iota _{L{\bar {K}}}(L)={\tilde {\iota }}_{L{\bar {K}}}(L)\subset {\bar {K}}$이다.

성질

체 $K$의 유한 차수 대수적 분해 가능 확대 $L/K$에 대하여, 다음 두 조건이 서로 동치이다.

• $L/K$는 정규 확대이다.
• $L$은 어떤 기약 다항식 $p\in K[x]$의 분해체 $K[x]/(p)$와 동형이다.

예

대수적 확대 $\mathbb {Q} ({\sqrt {2}})/\mathbb {Q}$는 정규 확대이다.

대수적 확대 $\mathbb {Q} ({\sqrt[{3}]{2}})/\mathbb {Q}$는 정규 확대가 아니다. $\mathbb {Q} [x]$의 기약 다항식 $x^{3}-2$는 $\mathbb {Q} ({\sqrt[{3}]{2}})$에서

$x^{3}-2=(x-{\sqrt[{3}]{2}})\left(x^{2}+{\sqrt[{3}]{2}}x+({\sqrt[{3}]{2}})^{2}\right)$

이므로 하나의 근을 갖지만 완전히 인수분해되지 않는다.

참고 문헌

• Lang, Serge (2002). 《Algebra》. Graduate Texts in Mathematics (영어) 211 3판. Springer. doi:10.1007/978-1-4613-0041-0. ISBN 978-1-4612-6551-1. ISSN 0072-5285. MR 1878556. Zbl 0984.00001.  CS1 관리 - 추가 문구 (링크)

외부 링크

• “Normal extension”. 《Encyclopedia of Mathematics》 (영어). Springer-Verlag. 2001. ISBN 978-1-55608-010-4. 
• Weisstein, Eric Wolfgang. “Normal extension”. 《Wolfram MathWorld》 (영어). Wolfram Research.