첫째 조건 ⇒ 둘째 조건. 임의의
a
∈
L
{\displaystyle a\in L}
p
a
∈
K
[
x
]
{\displaystyle p_{a}\in K[x]}
a
{\displaystyle a}
K
{\displaystyle K}
최소 다항식 이라고 하자. 그렇다면, 가정한 첫째 조건에 따라
L
{\displaystyle L}
p
a
{\displaystyle p_{a}}
L
{\displaystyle L}
{
p
a
:
a
∈
L
}
{\displaystyle \{p_{a}\colon a\in L\}}
K
{\displaystyle K}
분해체 를 포함한다. 임의의
a
∈
L
{\displaystyle a\in L}
p
a
{\displaystyle p_{a}}
L
{\displaystyle L}
{
p
a
:
a
∈
L
}
{\displaystyle \{p_{a}\colon a\in L\}}
둘째 조건 ⇒ 셋째 조건.
ι
K
L
:
K
→
L
{\displaystyle \iota _{KL}\colon K\to L}
ι
K
K
¯
:
K
→
K
¯
{\displaystyle \iota _{K{\bar {K}}}\colon K\to {\bar {K}}}
ι
L
K
¯
:
L
→
K
¯
{\displaystyle \iota _{L{\bar {K}}}\colon L\to {\bar {K}}}
ι
~
L
K
¯
:
L
→
K
¯
{\displaystyle {\tilde {\iota }}_{L{\bar {K}}}\colon L\to {\bar {K}}}
ι
L
K
¯
∘
ι
K
L
=
ι
~
L
K
¯
∘
ι
K
L
=
ι
K
K
¯
{\displaystyle \iota _{L{\bar {K}}}\circ \iota _{KL}={\tilde {\iota }}_{L{\bar {K}}}\circ \iota _{KL}=\iota _{K{\bar {K}}}}
가 셋째 조건에서 정의한 매장들이라고 하자. 편의상
K
⊆
L
⊆
K
¯
{\displaystyle K\subseteq L\subseteq {\bar {K}}}
ι
K
L
{\displaystyle \iota _{KL}}
ι
K
K
¯
{\displaystyle \iota _{K{\bar {K}}}}
ι
L
K
¯
{\displaystyle \iota _{L{\bar {K}}}}
ι
~
L
K
¯
∘
ι
K
L
=
ι
K
K
¯
{\displaystyle {\tilde {\iota }}_{L{\bar {K}}}\circ \iota _{KL}=\iota _{K{\bar {K}}}}
ι
~
L
K
¯
|
K
=
id
K
{\displaystyle {\tilde {\iota }}_{L{\bar {K}}}|_{K}=\operatorname {id} _{K}}
S
⊆
L
{\displaystyle S\subseteq L}
P
{\displaystyle P}
L
=
K
(
S
)
{\displaystyle L=K(S)}
ι
~
L
K
¯
(
L
)
=
K
(
ι
~
L
K
¯
(
S
)
)
{\displaystyle {\tilde {\iota }}_{L{\bar {K}}}(L)=K({\tilde {\iota }}_{L{\bar {K}}}(S))}
이다. 따라서,
ι
~
L
K
¯
(
L
)
=
L
{\displaystyle {\tilde {\iota }}_{L{\bar {K}}}(L)=L}
ι
~
L
K
¯
(
S
)
=
S
{\displaystyle {\tilde {\iota }}_{L{\bar {K}}}(S)=S}
p
(
x
)
=
a
0
+
a
1
x
+
⋯
+
a
n
x
n
∈
P
{\displaystyle p(x)=a_{0}+a_{1}x+\cdots +a_{n}x^{n}\in P}
가 주어졌다고 하자. 그
L
[
x
]
{\displaystyle L[x]}
인수 분해 가
p
(
x
)
=
a
n
(
x
−
b
1
)
⋯
(
x
−
b
n
)
{\displaystyle p(x)=a_{n}(x-b_{1})\cdots (x-b_{n})}
이라고 하자. 이는 기본 대칭 다항식 들이 등장하는 일련의 등식
a
0
=
(
−
1
)
n
a
n
b
1
⋯
b
n
{\displaystyle a_{0}=(-1)^{n}a_{n}b_{1}\cdots b_{n}}
a
1
=
(
−
1
)
n
−
1
a
n
(
b
2
⋯
b
n
+
⋯
+
b
1
⋯
b
n
−
1
)
{\displaystyle a_{1}=(-1)^{n-1}a_{n}(b_{2}\cdots b_{n}+\cdots +b_{1}\cdots b_{n-1})}
⋮
{\displaystyle \vdots }
a
n
=
a
n
{\displaystyle a_{n}=a_{n}}
과 동치 이다. 여기에 매장
ι
~
L
K
¯
:
L
→
K
¯
{\displaystyle {\tilde {\iota }}_{L{\bar {K}}}\colon L\to {\bar {K}}}
b
i
{\displaystyle b_{i}}
ι
~
L
K
¯
(
b
i
)
{\displaystyle {\tilde {\iota }}_{L{\bar {K}}}(b_{i})}
a
0
=
(
−
1
)
n
a
n
ι
~
L
K
¯
(
b
1
)
⋯
ι
~
L
K
¯
(
b
n
)
{\displaystyle a_{0}=(-1)^{n}a_{n}{\tilde {\iota }}_{L{\bar {K}}}(b_{1})\cdots {\tilde {\iota }}_{L{\bar {K}}}(b_{n})}
a
1
=
(
−
1
)
n
−
1
a
n
(
ι
~
L
K
¯
(
b
2
)
⋯
ι
~
L
K
¯
(
b
n
)
+
⋯
+
ι
~
L
K
¯
(
b
1
)
⋯
ι
~
L
K
¯
(
b
n
−
1
)
)
{\displaystyle a_{1}=(-1)^{n-1}a_{n}({\tilde {\iota }}_{L{\bar {K}}}(b_{2})\cdots {\tilde {\iota }}_{L{\bar {K}}}(b_{n})+\cdots +{\tilde {\iota }}_{L{\bar {K}}}(b_{1})\cdots {\tilde {\iota }}_{L{\bar {K}}}(b_{n-1}))}
⋮
{\displaystyle \vdots }
a
n
=
a
n
{\displaystyle a_{n}=a_{n}}
a
0
,
a
1
,
…
,
a
n
{\displaystyle a_{0},a_{1},\dots ,a_{n}}
K
{\displaystyle K}
p
(
x
)
{\displaystyle p(x)}
K
¯
{\displaystyle {\bar {K}}}
p
(
x
)
=
a
n
(
x
−
ι
~
L
K
¯
(
b
1
)
)
⋯
(
x
−
ι
~
L
K
¯
(
b
n
)
)
{\displaystyle p(x)=a_{n}(x-{\tilde {\iota }}_{L{\bar {K}}}(b_{1}))\cdots (x-{\tilde {\iota }}_{L{\bar {K}}}(b_{n}))}
이다.
K
¯
[
x
]
{\displaystyle {\bar {K}}[x]}
유일 인수 분해 정역 이므로,
p
(
x
)
{\displaystyle p(x)}
{
b
1
,
…
,
b
n
}
{\displaystyle \{b_{1},\dots ,b_{n}\}}
{
ι
~
L
K
¯
(
b
1
)
,
…
,
ι
~
L
K
¯
(
b
n
)
}
{\displaystyle \{{\tilde {\iota }}_{L{\bar {K}}}(b_{1}),\dots ,{\tilde {\iota }}_{L{\bar {K}}}(b_{n})\}}
중복집합 으로서 같고, 특히 집합으로서 같다.
그런데
S
{\displaystyle S}
p
{\displaystyle p}
{
b
1
,
…
,
b
n
}
{\displaystyle \{b_{1},\dots ,b_{n}\}}
ι
~
L
K
¯
(
S
)
{\displaystyle {\tilde {\iota }}_{L{\bar {K}}}(S)}
p
{\displaystyle p}
{
ι
~
L
K
¯
(
b
1
)
,
…
,
ι
~
L
K
¯
(
b
n
)
}
{\displaystyle \{{\tilde {\iota }}_{L{\bar {K}}}(b_{1}),\dots ,{\tilde {\iota }}_{L{\bar {K}}}(b_{n})\}}
S
=
ι
~
L
K
¯
(
S
)
{\displaystyle S={\tilde {\iota }}_{L{\bar {K}}}(S)}
셋째 조건 ⇒ 첫째 조건.
K
{\displaystyle K}
부분체 로 포함하는
L
{\displaystyle L}
K
{\displaystyle K}
대수적 폐포
K
⊆
L
⊆
K
¯
{\displaystyle K\subseteq L\subseteq {\bar {K}}}
기약 다항식
p
∈
K
[
x
]
{\displaystyle p\in K[x]}
p
{\displaystyle p}
a
∈
L
{\displaystyle a\in L}
p
{\displaystyle p}
b
∈
K
¯
{\displaystyle b\in {\bar {K}}}
K
(
a
)
→
K
(
b
)
{\displaystyle K(a)\to K(b)}
f
(
a
)
↦
f
(
b
)
(
∀
f
∈
K
[
x
]
)
{\displaystyle f(a)\mapsto f(b)\qquad (\forall f\in K[x])}
만약
f
(
a
)
=
g
(
a
)
{\displaystyle f(a)=g(a)}
(
f
−
g
)
(
a
)
=
0
{\displaystyle (f-g)(a)=0}
p
(
x
)
∣
f
(
x
)
−
g
(
x
)
{\displaystyle p(x)\mid f(x)-g(x)}
f
(
b
)
=
g
(
b
)
{\displaystyle f(b)=g(b)}
f
(
b
)
=
g
(
b
)
{\displaystyle f(b)=g(b)}
f
(
a
)
=
g
(
a
)
{\displaystyle f(a)=g(a)}
단사 함수 이다. 이 함수는 자명하게 환 준동형 이다. 또한, 이는 자명하게 전사 함수 이며,
K
{\displaystyle K}
체의 확대
K
(
a
)
/
K
{\displaystyle K(a)/K}
K
(
b
)
/
K
{\displaystyle K(b)/K}
동형 사상 을 이룬다.
L
/
K
(
a
)
{\displaystyle L/K(a)}
대수적 확대 이며,
K
¯
{\displaystyle {\bar {K}}}
K
(
b
)
{\displaystyle K(b)}
대수적 폐포 를 이루므로, 이 동형 사상 을 확장하는 체의 매장
ι
:
L
↪
K
¯
{\displaystyle \iota \colon L\hookrightarrow {\bar {K}}}
ι
|
K
=
id
K
{\displaystyle \iota |_{K}=\operatorname {id} _{K}}
ι
:
a
↦
b
{\displaystyle \iota \colon a\mapsto b}
가 존재한다. 이는 초른 보조정리 을 통해 보일 수 있다. 가정한 셋째 조건에 따라,
ι
(
L
)
=
L
{\displaystyle \iota (L)=L}
b
=
ι
(
a
)
∈
ι
(
L
)
=
L
{\displaystyle b=\iota (a)\in \iota (L)=L}
L
{\displaystyle L}
p
{\displaystyle p}
p
{\displaystyle p}
L
{\displaystyle L}
![{\displaystyle K[x]}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/8a9e6c2ac2830d6a9abe078b47450777c41d69a9)
![{\displaystyle L[x]}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/1ad481528cdf71b58ddc4e631b288d663701e3d1)
![{\displaystyle P\subset K[x]}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/355b70a00e74fe1d6d0fb141f710d934b1143cad)
![{\displaystyle p_{a}\in K[x]}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/a06fa926a790bf4c8741be049da51beb5bd4eced)
![{\displaystyle {\bar {K}}[x]}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/6376310a46040002188129f567b530f9634afd6e)
![{\displaystyle p\in K[x]}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/f209a0138930b769ca3c23906c6c4a33f547e78d)
![{\displaystyle f(a)\mapsto f(b)\qquad (\forall f\in K[x])}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/c391c75ae4398738206344dae3301c341a864e79)
![{\displaystyle \{p_{a}\colon a\in L\}\subseteq K[x]}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/f2d2c8597a7c1c2f8591ab8af3bdb27869565250)
![{\displaystyle K[x]/(p)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/781b7b445a5e594183e03adf83985bc09572b245)
![{\displaystyle \mathbb {Q} ({\sqrt[{4}]{2}})/\mathbb {Q} }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/e58cd04174077d401f40a4d16a43171d935edebd)
![{\displaystyle \mathbb {Q} ({\sqrt[{4}]{2}})/\mathbb {Q} ({\sqrt {2}})/\mathbb {Q} }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/d7f70bd7643be5797f20e040c54cafa1b2afc8de)
![{\displaystyle \mathbb {Q} ({\sqrt[{3}]{2}})/\mathbb {Q} }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/6d8de3020fc00c3feba98e1a5b1d01423af47200)
![{\displaystyle \mathbb {Q} [x]}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/da33ddef34ad0c677b6eb7e042f574ee0e7553f7)
![{\displaystyle \mathbb {Q} ({\sqrt[{3}]{2}})}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/4682c6f3952f1b35a5db23be9b806fc79e771d30)
![{\displaystyle x^{3}-2=(x-{\sqrt[{3}]{2}})\left(x^{2}+{\sqrt[{3}]{2}}x+({\sqrt[{3}]{2}})^{2}\right)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/d81fe0dd30ba60affd70b2d088f90f3539e6a226)