정지 시간

확률 과정 이론에서, 정지 시간(停止時間, 영어: stopping time 스토핑 타임^[*]) 또는 마르코프 순간(Марков瞬間, 영어: Markov moment)은 어떤 여과 확률 공간과 호환되는 성질을 갖는, 지표 집합의 원소(‘시각’)의 값을 갖는 확률 변수이다. 대략, 정지 시간이 ‘지났는지’ 여부는 (여과 확률 공간에 의하여 주어진) 이 시간 이전에 알려진 정보만으로 확인할 수 있어야 한다.

정의

다음이 주어졌다고 하자.

• 상계 $\infty \in T$를 갖는 전순서 집합 $(T,\leq )$
• 여과 확률 공간 $(\Omega ,{\mathcal {F}}_{t},\Pr )_{t\in T}$

이 데이터의 정지 시간은 다음 조건을 만족시키는 함수

$\tau \colon \Omega \to T$

이다.

$\forall t\in T\colon \{\omega \in \Omega \colon \tau (\omega )\leq t\}\in {\mathcal {F}}_{t}$

다시 말해, $\tau \leq t$인 사건이 발생하였는지 여부는 시각 $t\in T$에서 알려진 정보 ${\mathcal {F}}_{t}$만으로 확인할 수 있어야 한다.

정의에 따라, $T$에 순서 위상의 보렐 가측 공간 구조를 부여하면, 이는 확률 변수

$\tau \colon (\Omega ,{\mathcal {F}}_{\infty },\Pr )\to T$

를 정의한다.

확률 과정의 정지 시간이란 그 자연 여과 확률 공간에 대한 정지 시간을 뜻한다.

정지 과정

다음이 주어졌다고 하자.

• 상계 $\infty \in T$를 갖는 전순서 집합 $(T,\leq )$
• 여과 확률 공간 $(\Omega ,{\mathcal {F}}_{t},\Pr )_{t\in T}$
• $({\mathcal {F}}_{t})_{t\in T}$-정지 시간 $\tau \colon \Omega \to T$
• 가측 공간 $S$
• $({\mathcal {F}}_{t})_{t\in T}$-순응 확률 과정 $(X_{t}\colon \Omega \to S)_{t\in T}$

그렇다면, $X$의 $\tau$에 대한 정지 과정(停止過程, 영어: stopped process)은 다음과 같은 순응 확률 과정이다.

$X_{t}^{\tau }\colon \Omega \to S$

$X_{t}^{\tau }\colon \omega \mapsto X_{\min\{t,\tau (\omega )\}}(\omega )={\begin{cases}X_{t}&t\leq \tau (\omega )\\X_{\tau (\omega )}&t\geq \tau (\omega )\\\end{cases}}$

이는 흔히

$X_{t}^{\tau }=X_{\min\{t,\tau \}}$

와 같이 표기된다.

예

$0\in \mathbb {R}$에서 시작하는 표준 위너 확률 과정 $(W_{t}\colon \Omega \to \mathbb {R} )_{t\in [0,\infty ]}$을 생각하자. $S\subseteq \mathbb {R}$가 임의의 실수 보렐 집합이라고 하자. 그렇다면, 확률 변수

$\tau _{S}\colon [0,\infty ]$

$\tau _{S}(t)=\inf\{t\in T\colon W_{t}(\omega )\in S\}$

를 정의할 수 있다. 이는 $W$의 자연 여과 확률 공간에 대한 정지 시간을 이룬다.

외부 링크

• “Markov moment”. 《Encyclopedia of Mathematics》 (영어). Springer-Verlag. 2001. ISBN 978-1-55608-010-4.