제곱 인수가 없는 정수
수론에서 제곱 인수가 없는 정수(제곱 因數가 없는 整數, 영어: squarefree integer, 독일어: quadratfrei Zahl)는 1이 아닌 제곱수를 인수로 갖지 않는 양의 정수다.
정의
편집양의 정수 에 대하여, 다음 조건들이 서로 동치이며, 이를 만족시키는 양의 정수를 제곱 인수가 없는 정수라고 한다.
- 임의의 양의 정수 에 대하여, 만약 이라면 이다.
- 임의의 양의 정수 에 대하여, 만약 이라면 와 는 서로소이다. 또한 제곱 인수가 없는 정수의 경우 소인수분해의 결과는 각 소인수의 지수가 모두 1이며, 약수들도 모두 유니타리 약수이므로 유니타리 약수의 개수도 약수의 개수와 같다.
- 이다. 여기서 는 뫼비우스 함수이다.
- 크기가 인 아벨 군들은 모두 서로 동형이다.
- 은 인수 관계 에 대하여 불 대수를 이룬다.
- 몫환 은 0개 이상의 체들의 (가환환으로서의) 직접곱이다. (0개의 체들의 곱환은 자명환이다.)
제곱 인수가 없는 정수의 목록은 다음과 같다. 참고로, 제곱 인수가 없는 정수의 각 소인수들은 모두 한 번씩만 곱해지므로, 각 소인수가 곱해진 지수의 합이 소인수의 개수와 같다. 또한 약수들도 모두 유니타리 약수인데, 그 이유는 중복되어 곱해지는 소인수가 없기 때문이다.
- 1, 2, 3, 5, 6, 7, 10, 11, 13, 14, 15, 17, 19, 21, 22, 23, 26, 29, 30, 31, 33, 34, 35, 37, 38, 39, 41, 42, 43, 46, 47, 51, 53, 55, 57, 58, 59, 61, 62, 65, 66, 67, 69, 70, 71, 73, 74, 77, 78, 79, 82, 83, 85, 86, 87, 89, 91, 93, 94, 95, 97, 101, 102, 103, 105, 106, 107, 109, 110, 111, 113, ... (OEIS의 수열 A5117)
성질
편집은 일 경우 제곱 인수가 없는 정수가 아니다.[1]
함수 를 제곱 인수가 없는 정수 의 수로 정의하자.
그렇다면, 어떤 양의 실수 에 대하여 다음이 성립한다.[2]
만약 리만 가설이 참이라면, 다음이 성립한다.[3][4]
즉, 제곱 인수가 없는 수의 밀도는
이다. 다시 말해, 대략 61%의 양의 정수가 제곱 인수가 없는 정수이다.
각주
편집- ↑ Granville, Andrew; Olivier Ramaré (1996). “Explicit bounds on exponential sums and the scarcity of squarefree binomial coefficients”. 《Mathematika》 (영어) 43: 73–107. doi:10.1112/S0025579300011608. MR 1401709. Zbl 0868.11009.
- ↑ Walfisz, A. (1963). 《Weylsche Exponentialsummen in der neueren Zahlentheorie》 (독일어). 베를린: VEB deutscher Verlag der Wissenschaften.
- ↑ Jia, Chao Hua (1993). “The distribution of square-free numbers”. 《Science in China Series A: Mathematics》 (영어) 36 (2): 154–169.
- ↑ Pappalardi, Francesco (2003). “A Survey on k-freeness” (PDF) (영어). 2016년 3월 3일에 원본 문서 (PDF)에서 보존된 문서. 2015년 1월 16일에 확인함.
외부 링크
편집- Weisstein, Eric Wolfgang. “Squarefree”. 《Wolfram MathWorld》 (영어). Wolfram Research.
- Weisstein, Eric Wolfgang. “Squareful”. 《Wolfram MathWorld》 (영어). Wolfram Research.