제약된 극값 정리

제약된 극값 정리(制約된 極값 定理, 영어: constrained extremum theorem)는 선형대수학의 정리로, 이차 형식의 최댓값과 최솟값을 단위구 상에서 구할 때의 조건에 관한 내용이다.

공식화

A를 실수 성분만을 갖는 n×n인 대칭행렬이라 하고, 그 크기의 내림차순으로 배열된 고윳값을 $\lambda _{1},\lambda _{2},...,\lambda _{n}$ 라 하자. 그러면, 제약된 극값 정리는 다음 세 명제가 성립하는 것으로 표현할 수 있다.

1. 단위구 ||x|| = 1 위에 x^TAx의 최댓값과 최솟값이 존재한다.
2. 최댓값은 가장 큰 고윳값인 $\lambda _{1}$ 이고, 이 최댓값은 x가 $\lambda _{1}$ 에 대응하는 A의 단위 고유벡터일 때 존재한다.
3. 최솟값은 가장 작은 고윳값인 $\lambda _{n}$ 이고, 이 최솟값은 x가 $\lambda _{n}$ 에 대응하는 A의 단위 고유벡터일 때 존재한다.

여기서 조건인 ||x|| = 1를 제약(constraint)이라 하고, 이 제약에서 x^TAx의 최댓값 또는 최솟값을 제약된 극값(constrained extremum)이라 한다.

같이 보기

• 최대 최소 정리
• 라그랑주 승수법

참고 문헌

• Howard Anton, Robert C. Busby, 고형준 외 공역, 《최신선형대수》, 학술정보, 2004