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제2 가산 공간

정의편집

위상 공간  무게(영어: weight)   기저들의 집합의 크기 가운데 최소인 기수이다. (기수의 전순서정렬 전순서이므로 이는 항상 존재한다.)

위상 공간  에 대하여, 다음 조건이 서로 동치이며, 이를 만족시키는 위상 공간을 제2 가산 공간이라고 한다.

  •  
  •  가산 기저를 갖는다.
  •   위의 임의의 기저  에 대하여,  이며 기저를 이루는 가산 집합  이 존재한다.

성질편집

모든 제2 가산 공간은 다음 성질들을 만족시킨다.

거리화 가능 공간  에 대하여, 다음 성질들이 서로 동치이다.

우리손 거리화 정리에 따르면, 모든 제2 가산 정칙 공간유사 거리화 가능 공간이며, 모든 제2 가산 정칙 하우스도르프 공간거리화 가능 공간이다.

연산에 대한 닫힘편집

부분 공간편집

임의의 위상 공간   위의 기저   및 부분 집합  에 대하여,    위의 기저를 이룬다. 따라서

 

이다. 특히, 제2 가산 공간의 모든 부분 공간은 제2 가산 공간이다.

몫공간편집

제2 가산 공간의 몫공간은 제2 가산 공간이 아닐 수 있다. 다만, 임의의 제2 가산 공간  열린집합  에 대하여, 동치 관계

 

를 주었을 때, 몫공간  은 역시 제2 가산 공간이다.

곱공간편집

임의의 곱공간

 

및 각   위의 기저  에 대하여,

 

  위의 기저를 이룬다. 따라서

 

이다. 특히, 가산 개의 제2 가산 공간들의 곱공간은 제2 가산 공간이며, 임의의 무한 기수  에 대하여  개 이하의, 무게가   이하인 위상 공간들의 곱공간의 무게는   이하이다.

분리합집합편집

위상 공간들의 집합  분리합집합

 

의 무게는 각 성분들의 무게들의 합이다.

 

따라서, 가산 개의 제2 가산 공간들의 분리합집합은 제2 가산 공간이다. 그러나 비가산 개의 위상 공간들의 분리합집합은 (위상 공간들이 공집합이 아니라면) 제2 가산 공간이 아니다.

크기 관련 성질편집

제2 가산 공간의 열린집합의 수는   이하이다.

제2 가산 공간 위의 임의의 기저는 가산 부분 기저를 갖는다.

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흔히 볼 수 있는 대부분의 공간들이 제2 가산 공간이다.

이산 공간편집

이산 공간의 경우, 최소의 기저는 모든 가능한 한원소 집합들로 구성된다. 따라서, 이산 공간  의 밀도는 그 집합의 크기와 같다.

 

특히, 이산 공간이 제2 가산 공간인 것은 가산 집합인 것과 동치이다.

비이산 공간편집

비이산 공간  의 경우, 최소의 기저는 (공집합이 아닐 경우)  이다. 따라서, 비이산 공간  의 밀도는 다음과 같다.

 

특히, 모든 비이산 공간은 제2 가산 공간이다.

제2 가산 공간이 아닌 제1 가산 공간편집

긴 직선T4 제1 가산 공간이지만, 제2 가산 공간이 아니다.

제1 가산 공간이 아닌, 제2 가산 공간의 몫공간편집

위상 공간

 

몫공간

 

을 생각하자.  는 제2 가산 공간의 가산 개의 분리합집합이므로 제2 가산 공간이다. 그러나   에서 국소 지표

 

를 가지며, 따라서 제1 가산 공간도, 제2 가산 공간도 아니다.

참고 문헌편집

외부 링크편집