주기함수

수학에서 주기 함수(週期函數, 영어: periodic function)는 함숫값이 일정 주기마다 되풀이되는 함수이다. 일상적인 예로, 시계 시간은 시간에 대한 함수로서 주기 함수이다. 즉, 시계의 행동은 날마다 똑같다.

정의

실수 함수

0이 아닌 실수 $t\in \mathbb {R} \setminus \{0\}$ 및 실수 부분 집합 $D\subset \mathbb {R}$ 및 실수 함수 $f\colon D\to \mathbb {R}$에 대하여, 다음 조건들이 서로 동치이며, 이를 만족시키는 함수 $f$를 주기 함수라고 하고, 실수 $t$를 $f$의 주기(週期, 영어: period)라고 한다.

• 임의의 $x\in D$에 대하여, $f(x+t)=f(x)=f(x-t)$이다.
• $\textstyle f=\bigsqcup _{n\in \mathbb {Z} }T_{nt}(f|_{D\cap I})$인 유한 실수 구간 $I\subset \mathbb {R}$이 존재한다. 즉, $f$의 그래프는 그 "유한한" 제한의 그래프에 대한 거듭된 수평 평행 이동으로 생성된다.
  • 여기서 $T_{t}(g)\colon \operatorname {dom} g+t\to \mathbb {R}$이며, $T_{t}(g)(x+t)=g(x)\ (\forall x\in \operatorname {dom} g)$이다. 즉, $T_{t}$는 함수의 그래프를 수평 방향으로 $t$만큼 평행 이동하는 변환이다.

이에 따라, 다음이 성립한다.

• 임의의 $x\in D$에 대하여, $x+t,x-t\in D$이다.
• $\textstyle D=\bigsqcup _{n\in \mathbb {Z} }(D\cap I+nt)$인 유한 실수 구간 $I\subset \mathbb {R}$이 존재한다.

기본 주기

실수 주기 함수 $f\colon D\to \mathbb {R}$ 및 실수 $T\in \mathbb {R}$에 대하여, 다음 두 조건이 서로 동치이며, 이를 만족시키는 실수 $T$를 $f$의 기본 주기(基本週期, 영어: fundamental period, primitive period)라고 한다. 이는 존재하지 않을 수 있다.

• $T$는 양의 최소 주기이다.
• $\operatorname {prd} f=T\mathbb {Z}$. 즉, $f$의 주기는 곧 $\ldots ,-2T,-T,0,T,2T,\ldots$이다.

성질

실수 주기 함수 $f\colon D\to \mathbb {R}$의 주기와 0의 집합을 $\operatorname {prd} f$로 적자. 즉,

$\operatorname {prd} f=\{t\in \mathbb {R} \colon f(x+t)=f(x)\}$

이라고 하자. 그렇다면, 이는 덧셈에 대하여 닫혀있다. 다시 말해,

• 임의의 $t,u\in \operatorname {prd} f$에 대하여, $t+u,t-u\in \operatorname {prd} f$이다.
• 특히, 임의의 $t\in \operatorname {prd} f$ 및 $n\in \mathbb {Z}$에 대하여, $nt\in \operatorname {prd} f$이다.

따라서 $\operatorname {prd} f$는 덧셈에 대한 아벨 군을 이룬다.

기본 주기

실수 주기 함수 $f\colon \mathbb {R} \to \mathbb {R}$에 대하여, 다음 두 조건이 서로 동치이다.

• $f$가 기본 주기를 갖지 않는다.
• $\operatorname {prd} f$가 $\mathbb {R}$에서 조밀 집합이다.

만약 주기 함수 $f\colon \mathbb {R} \to \mathbb {R}$가 기본 주기를 갖지 않는다면, 상수 함수이거나, 아니면 모든 곳에서 불연속이다.

예

실수를 그 소수 부분으로 대응시키는 함수 $f$는

$\cdots =f(-2.9)=f(-1.9)=f(-0.9)=0.1=f(0.1)=f(1.1)=f(2.1)=\cdots$

$\cdots =f(-2.7)=f(-1.7)=f(-0.7)=0.3=f(0.3)=f(1.3)=f(2.3)=\cdots$

과 같이, 주기 함수이며, 그 기본 주기는 1이다.

삼각 함수는 모두 주기 함수이다. 사인 · 코사인 함수는 $2\pi$, 탄젠트 함수는 $\pi$를 기본 주기로 한다.

$\sin(x+2\pi )=\sin x$

$\cos(x+2\pi )=\cos x$

$\tan(x+\pi )=\tan x$

상수 함수는 주기 함수이며, 모든 실수를 주기로 갖는다. 따라서, 기본 주기가 없다.

디리클레 함수

$f(x)={\begin{cases}1&x\in \mathbb {Q} \\0&x\in \mathbb {R} \setminus \mathbb {Q} \end{cases}}$

는 주기 함수이며, 모든 유리수를 주기로 갖는다. 따라서, 기본 주기가 없다.

같이 보기

• 주파수
• 파동