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일반위상수학에서, 준열린집합(準-集合, 영어: almost open set) 또는 베르 성질 집합(Baire性質集合, 영어: set with the property of Baire)은 열린집합 또는 닫힌집합제1 범주 집합만큼 가까운 집합이다.

목차

정의편집

위상 공간   속의 다음과 같은 집합족들을 생각하자.

  •  : 제1 범주 집합들의 족
  •  : 열린집합들의 족
  •  : 닫힌집합들의 족
  •  : Fσ 집합들의 족
  •  : Gδ 집합들의 족
  •  : 보렐 집합들의 족

또한,  가 집합족  를 포함하는 최소의 시그마 대수라고 하자. 그렇다면, 다음 집합족들이 일치하며, 이를  라고 표기하자.

 

여기서  대칭차이다.  의 원소를  준열린집합이라고 한다.[1]:47–48, Definition 8.21, Proposition 8.22, Proposition 8.23

증명:

다음 기호를 정의하자.

 

보렐 시그마 대수는 정의에 따라  이므로, 자명하게

 

이다. 또한, 자명하게

 

이다. 또한,

 

임을 쉽게 알 수 있다. 따라서,

 
 

를 보이면 족하다.

  •  : 임의의 집합   에 대하여,  이며,  조밀한 곳이 없는 집합들의 열이라고 하자. 그렇다면,  이다. 이제  을 정의하자. 그렇다면,  이므로  이며,  이다.
  •  :
    • 가산 합집합에 대한 닫힘: 열린집합의 합집합은 열린집합이며, 제1 범주 집합들의 가산 합집합은 제1 범주 집합이므로, 이는 자명하게 참이다.
    • 여집합에 대한 닫힘: 편의상,   로 표기하자. 임의의  에 대하여,  이며  라고 하자. 그렇다면,  이며,  이므로  이다.

성질편집

함의 관계편집

위상 공간부분 집합에 대하여, 다음과 같은 함의 관계가 존재한다.

정칙 열린집합열린집합
열린닫힌집합 보렐 집합
정칙 닫힌집합닫힌집합 준열린집합 ⇒ 부분 집합
조밀 집합여집합조밀한 곳이 없는 집합제1 범주 집합

연산에 대한 닫힘편집

위상 공간   위의 준열린집합들은 시그마 대수를 이룬다. 즉,

  • 준열린집합의 여집합은 준열린집합이다.
  • 가산 개의 준열린집합들의 합집합은 준열린집합이다.
  • 가산 개의 준열린집합들의 교집합은 준열린집합이다.

모든 열린집합닫힌집합을 비롯한 모든 보렐 집합은 준열린집합이다. 만약 사영 결정 공리를 가정한다면, 모든 사영 집합은 준열린집합이다.

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선택 공리를 가정하면, 실수선의 부분 집합들 가운데 준열린집합이 아닌 부분 집합이 존재한다. 예를 들어, 비탈리 집합은 준열린집합이 아니다.

역사편집

르네루이 베르가 1905년에 도입하였다.[2]

참고 문헌편집

  1. Kechris, Alexander Sotirios (1995). 《Classical descriptive set theory》. Graduate Texts in Mathematics (영어) 156. Springer-Verlag. ISBN 978-1-4612-8692-9. ISSN 0072-5285. MR 1321597. Zbl 0819.04002. doi:10.1007/978-1-4612-4190-4. 
  2. Baire, René (1905). 《Leçons sur les fonctions discontinues professées au collège de France》. Collection de monographies sur la théorie des fonctions publiée sous la direction de M. Émile Borel (프랑스어). 파리: Gauthier-Villars, Imprimeur-Libraire. JFM 36.0438.01. 

외부 링크편집