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y = ex의 그래프[1]

지수 함수(指數函數, 영어: exponential function)란 거듭제곱지수를 변수로 하고, 정의역을 실수 전체로 정의하는 초월함수이다. 로그 함수역함수이다.

정의편집

 를 양의 상수,  를 모든 실수 값을 취하는 변수라고 할 때  로 주어지는 함수를 말한다. 예를 들어, 함수  는 지수함수다. 자연로그역함수로 주어지는 지수함수는   또는  와 같이 쓴다. 이때  를 '자연로그의 밑'이라 한다. 지수함수   역시 그래프로 나타낼 수 있으며, 실변수  의 함수로서 그래프는 항상 양수이고, 왼쪽에서 오른쪽으로 증가한다. 이때 그래프는  축과 만나지 않지만,  축에 점점 접근해간다.

a가 음이 아닌 실수, x가 임의의 실수일 때, a, x를 지수로 하는 지수함수를 ax 로 쓴다. 특별히 지수가 자연수(혹은 유리수)일 때, 이 함수는 a의 거듭제곱과 일치한다. 지수함수는 다음의 공리에 의해 정의된다.

  • axR 에서 (0, ∞) 로의 연속사상이다.
  • a0 = 1
  • ap+q = apaq

극한편집

함수  에서

 일때 위 지수함수의 극한은

 ,  이고,

 일때 위 지수함수의 극한은

 ,  이다.

그리고  일때 위 지수함수의 극한은

 ,  이다.

미분편집

밑이 e 인 지수 함수 ex 의 도함수는 ex 자신이 된다. ex  로 쓰기도 한다. 임의의 지수함수 ax자연로그 ln 을 사용하여,   로 쓸 수 있다. 따라서, 일반적인 지수함수 ax 의 도함수는 (ln a)ax = ax ln a가 된다.

 미분방정식  특수해가 된다. 이는 반대로 미분방정식   를 만족하는 초기치문제의 해로 지수함수를 정의할 수도 있다는 의미를 담는다.

해석학에서 지수 함수는 주로 밑이 e인 것만을 가리킨다.

음함수 미분을 이용한 지수함수의 미분편집

음함수 미분을 이용하여  의 해를 구할 수 있다.

  라 하면 다음이 성립한다:

 

좌변을  에 대해 미분하면:

 


로그함수의 역함수로서의 정의편집

로그함수정적분을 이용하여 정의할 경우, 지수함수는 거듭제곱이 아닌 로그함수역함수로 정의된다.

자연로그를 다음과 같이 정의하자.

 

이때  강한 증가 함수이며 치역이 실수 전체이므로 역함수가 존재한다. 이때의 역함수 라고 표기한다.

이 함수의 도함수는 역함수의 미분에 의하여

 

즉,  이다. 또한,   이므로,   이다.

그리고 로그함수와의 역함수 관계를 이용하여 다음 등식이 성립함을 간단히 보일 수 있다.

 

 로 놓으면
 이므로 로그의 성질에 의하여  
따라서  가 성립한다.

로그함수  는 정의역 전체에서 연속 함수이므로 중간값 정리에 의하여 방정식  를 만족하는 해  가 존재하며, 단사함수이므로 실수  는 단 한개만 존재한다. 방정식  의 해를  라 하자.

 

이제  로 놓고 이것을 지수함수로 정의한다.

수학적 귀납법을 이용하면  자연수일 때  임을 보일 수 있다.

이제 일반적인 밑을 가진 지수를    로 정의하자.

마찬가지로 수학적 귀납법을 이용하여 자연수  에 대하여  임을 보일 수 있다.

증명은 다음과 같다.

1에 대하여 성립
 
 에 대하여 성립한다는 가정 아래,  에 대하여 성립
 
양변에 a를 곱하면
 
위 식의 좌변은 다음과 같이 정리된다.
 
 
따라서 수학적 귀납법에 의하여 자연수  에 대하여  로 정의된  는 a를 x번 곱한 것과 같다.

같이 보기편집

각주편집

외부 링크편집