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직교 리 대수

리 군론에서, 직교 리 대수(直交Lie代數, 영어: orthogonal Lie algebra)는 직교군에 대응되는 리 대수이다. 어떤 대칭 쌍선형 형식에 대하여 반대칭 행렬을 이루는 선형 변환들로 구성된다.

정의편집

다음이 주어졌다고 하자.

  • 가환환  
  •  -가군  
  •   위의 대칭 쌍선형 형식  

그렇다면,  자기 준동형으로 구성된  -리 대수

 

를 생각할 수 있다. 이 속에서, 다음과 같은  -부분 가군 -부분 리 대수를 이루며, 이를   에 대한 직교 리 대수라고 한다.

 

증명:

우선, 임의의  에 대하여

 

이다. 따라서, 임의의  에 대하여

 

이다. 즉,

 

이다.

만약 가환환  에서 2가 가역원이라면,  에 대하여 다음 두 조건이 서로 동치이다.

  1.  
  2.  

그러나 만약 2가 가역원이 아니라면 일반적으로 전자가 후자보다 더 강한 조건이다.

증명:

조건 1 ⇒ 조건 2:

 

2가 가역원일 때, 조건 2 ⇒ 조건 1:

 이므로,  

만약 추가로  가 표수가 2가 아닌 이며,  가 유한 차원 벡터 공간이며,  가 비퇴화 쌍선형 형식이라면, 이는  쌍대 공간   사이의 동형을 정의하며, 이 경우 직교 리 대수는  를 통하여 행렬로 표기하였을 때 반대칭 행렬이 되는 선형 변환들로 구성된다. 즉, 아인슈타인 표기법으로,

 

로 적으면,

 

이다.

성질편집

가환환   위의 가군   위의 이차 형식  에 대응되는 대칭 쌍선형 형식

 

라고 하자. 그렇다면, 리 대수  직교군  리 대수이다.

대수군의 경우와 달리, 리 대수이차 형식에 직접적으로 의존하지 않으며, 오직 그 연관 대칭 쌍선형 형식에만 의존한다. 이는 직교군의 정의가

 

인데, 이를 “무한소화”하면

 

가 된다. 그런데

 

이므로, 이는 오직  에만 의존하게 된다.

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만약  일 때, 정의에 따라 자명하게  이다.

특수 직교 리 대수편집

만약  유한 생성 자유 가군일 경우, 대각합이 0인 가군 준동형들로 구성된 특수 선형 리 대수

 

를 정의할 수 있다. 이 경우, 특수 직교 리 대수(영어: special orthogonal Lie algebra)

 

를 정의할 수 있다.

만약  이며,  비퇴화 쌍선형 형식일 경우,  이다. 그러나 예를 들어 만약  일 때, 홀수 차원  -벡터 공간 위에서, 비특이 이차 형식에 대응되는 대칭 쌍선형 형식은 퇴화 대칭 쌍선형 형식이며, 이 경우 직교 리 대수는 특수 선형 리 대수에 포함되지 않는다. 예를 들어, 표수가 2인 위에서,

 

이지만,  가 (이차 형식에 대응되는) 교대 대칭 쌍선형 형식이라면

 

이므로 항상  이다.

외부 링크편집