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집합대수(集合代數, algebra of sets)는 집합, 집합 연산(합집합, 교집합, 여집합), 집합 간의 관계(같음, 포함관계)에 대한 성질을 다룬다. 집합에 관한 식을 계산하는 방법도 제공한다.

집합대수는 수의 대수와 비슷하다. 덧셈곱셈교환법칙, 결합법칙을 만족하듯이 합집합교집합도 그러하다. '작거나 같음' 관계가 반사적, 반대칭적, 추이적이듯이, 부분집합 관계도 그러하다.

상술 집합 연산에 의해 닫혀있는 임의의 집합족불 대수를 이룬다. 이때 이음연산은 합집합연산, 만남연산은 교집합연산, 여원연산은 여집합연산이다.

(집합에 대한 소개는 집합, 더 자세한 소개는 소박한 집합론, 집합의 엄밀한 공리적 처리에 대해서는 공리적 집합론 글 참고)

기본 법칙편집

합집합( )과 교집합( ) 이항연산은 많은 항등식을 만족한다.

교환법칙:
  •  
  •  
결합법칙:
  •  
  •  
분배법칙:
  •  
  •  

이들로부터 합집합과 교집합, 덧셈과 곱셈 사이의 유사성이 보여진다. 합집합과 교집합은 덧셈과 곱셈처럼 교환법칙, 결합법칙을 만족하며, 교집합은 합집합에 대해 분배법칙을 만족한다. 그러나 덧셈과 곱셈과는 달리, 합집합도 교집합에 대한 분배법칙을 만족한다.

두 쌍의 추가적인 법칙에는 여집합연산( 의 여집합은  라 표기한다), 그리고 공집합  , 전체집합  가 등장한다. 공집합은 아무 원소도 없으며, 전체집합은 다뤄야 할 대상을 모두 포함한다.

항등법칙:
  •  
  •  
여원법칙:
  •  
  •  

항등법칙이 보여주듯이,   는 각각 합집합과 교집합 연산의 항등원을 맡는다. 이는 0과 1이 각각 덧셈과 곱셈의 항등원이라는 점과 유사하다.

덧셈과 곱셈이 역원을 가지는 반면, 합집합과 교집합 연산은 역원을 가지지 않는다. 하지만 여원법칙은 역원과 비슷한 단항연산으로 여원이 있다는 것을 보여준다.

여원법칙에 따라,  의 공집합 아닌 진부분집합  는 그의 여집합  와 함께  분할을 이룬다.

앞서 서술한 다섯 쌍의 법칙(교환법칙, 결합법칙, 분배법칙, 항등법칙, 여원법칙)은 집합대수 전체를 에워싼다. 달리 말해, 집합대수의 모든 결론은 다섯 쌍의 법칙으로부터 유도될 수 있다.

쌍대 원리편집

앞서 서술한 매 쌍의 법칙 안의 두 항등식은   ,   를 각각 교환하면 서로에서 서로를 얻는다.

이는 집합대수의 강력하고 중요한 성질 중 하나인 집합의 쌍대원리, 즉 다음과 같은 내용의 원리의 예이다: 집합대수의 임의의 참인 명제에 대해, 그 명제의 쌍대, 즉   ,   , 그리고   을 교환하여 새로 얻은 명제도 참이다.

쌍대가 자기 자신인 명제를 자기쌍대적이라고 한다.

합집합과 교집합 법칙 보충편집

전체집합  와 임의의 부분집합  에 대하여, 다음이 성립한다.

멱등법칙:
  •  
  •  
지배법칙:
  •  
  •  
흡수법칙:
  •  
  •  

위에서 말했듯이, 세 법칙 모두 기본 법칙 다섯 쌍에 의해 증명 가능하다.

여집합 법칙 보충편집

전체집합  와 그의 부분집합  가 있을 때,

드 모르간의 법칙:
  •  
  •  
대합법칙:
  •  
공집합과 전체집합의 여집합:
  •  
  •  

이들 중 대합법칙은 자기쌍대적이다.

아래에 서술할 명제 또한 자기쌍대적이며, 여원법칙을 만족하는 집합은 여집합 뿐이라는 것을 내용으로 한다. 즉, 여집합은 여원법칙에 의해 유일하게 확정지어진다.

여집합의 유일성:
  • 만약  이고  이면,  

포함관계 대수 법칙편집

아래 명제에 의하면, 포함관계, 즉 한 집합이 다른 한 집합의 부분집합이라는 이항관계부분순서를 이룬다.

집합  에 대하여,

반사성:
  •  
반대칭성:
  •   또한  일 필요충분조건은  
추이성:
  • 만약  이고  이면,  

아래 명제에 의하면, 임의의 집합  에 대해,  멱집합은 포함관계에 의한 순서를 부여했을 때 유계격자를 이루며, 위의 분배법칙, 여원법칙도 같이 생각하면 불 대수를 이룬다.

집합  가 집합  의 부분집합일 때, 다음이 성립한다.

최대원최소원의 존재성:
  •  
이음의 존재성:
  •  
  • 만약  이면,  
만남의 존재성:
  •  
  • 만약  이면,  

아래 명제는 포함관계  가 성립할 몇 가지 필요충분조건을 제시한다.

임의의 두 집합  에 대해서, 다음은 서로 동치이다.

  •  
  •  
  •  
  •  
  •  

이 명제는 포함관계가 합집합, 교집합 등의 연산으로 표현될 수 있어서, 공리적인 취급에 있어서는 과잉적임을 설명한다.

차집합 대수 법칙편집

전체집합  , 그리고 그의 부분집합  를 임의로 취했을 때, 차집합여집합에 관한 다음과 같은 법칙이 성립한다.

  •  
  •  
  •  
  •  
  •  
  •  
  •  
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같이 보기편집