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차원

공간 내에 있는 점 등의 위치를 나타내기 위해 필요한 축의 개수
0차원 , 1차원 선분, 2차원 사각형, 3차원 정육면체와 4차원 초입방체
1차원부터 5차원까지 전개하는 모습

차원(次元)은 수학에서 공간 내에 있는 등의 위치를 나타내기 위해 필요한 축의 개수를 말한다. 여기에서 사용된 수를 그 공간의 매개 변수라고 한다. 이 개념은 수학의 여러 분야에서 용도에 맞게 일반화된 형태로 사용되고 있다.

예를 들어, 평면에 포함된 한 점의 위치를 지정하는 데에는 두 개의 숫자가 필요하다. (보다 구체적으로 말해, 지구의 일부분을 묘사한 지도에서 특정한 위치를 찾아내기 위해서는 위도경도라는 두 개의 숫자를 알아야 한다.) 따라서 평면은 2차원이다.

하늘을 날아가는 비행기의 위치를 묘사하는 데에는 고도라는 또 하나의 변수가 필요하며, 따라서 비행기의 위치는 3차원 공간에 표시할 수 있다. 여기에 세 개의 오일러 각도를 추가한 6차원 공간을 생각하면, 비행기의 방향궤적을 함께 표시할 수 있다. 또한, 3차원 공간에 시간을 네 번째 차원으로 추가할 수도 있다.

차원의 종류편집

0차원 이 움직여 1차원 이 되고, 선이 움직여 2차원 이 되고,면이 움직여 3차원 입체가 되고, 입체가 움직여 4차원 초입체가 된다.

공간 차원편집

고전 물리학은 물리 우주가 3개의 차원을 갖는 것으로 묘사한다. 공간의 각 점에서 움직일 수 있는 기본 방향을 위-아래, 왼쪽-오른쪽, 앞-뒤의 3가지로 생각하면 모든 그 이외 다른 방향으로의 움직임 또한 이 세 가지 방향으로의 움직임을 조합한 것으로 표현할 수 있기 때문이다. 특히 왼쪽을 양의 방향이라고 할 때, 오른쪽으로의 움직임은 왼쪽으로 음수만큼 움직이는 것과 같다고 본다.

수직방향편집

좌표의 n개 좌표축에 모두 수직인 좌표축을 더하면 n+1차원 좌표가 된다.

시간 차원편집

시간을 네 번째 차원이라고 말하기도 한다. 하지만 모든 운동은 시간축 상에서 한 방향으로만 일어나는 것으로 인식된다는 점에서 시간은 다른 세 공간 차원과는 상당한 차이점이 있으며, 따라서 아리스토텔레스와 이후의 고전 물리학과 수학에서는 시간을 네 번째 차원이라고 생각하지 않는다.[1]

처음으로 시간 차원을 제4차원으로 간주한 것은 물리학자 아인슈타인이다. 그는 4차원에서 통합된 공간과 시간은 서로 대칭성을 가지며 또한 회전(이것은 특수상대성이론에서 말하는 공간과 시간의 휘어짐으로 나타난다) 가능하다고 했다.[1]

추가 차원편집

물리학의 끈 이론이나 M-이론 등은 우리 우주가 익히 알려진 3개의 차원 외에 아원자 규모의 추가 차원을 갖고 있어서, 실제의 시공간이 10차원이나 11차원일 것으로 예측하고 있다. 이는 현 시점에서 실험적으로 검증되지 않았다.

칼루자-클라인 이론에 따르면 공간은 3차원이 아니라 5차원이라고 한다. 그들은 중력과 전자기력을 5차원 이론으로 통합하려고 했다.

수학적 차원편집

수학에서 차원의 개념을 필요로 하는 분야는 매우 다양하며, 하나의 정의가 이 여러 필요를 전부 만족시키는 것은 불가능하다. 따라서 수학자들은 여러 가지 종류의 공간에 적용시키기 위한 여러 가지 차원의 개념을 만들어냈으나, 이는 전부 근본적으로는 n차원 유클리드 공간 En의 차원 개념에서 유래한 것이다. 점 E0은 0차원이고, 직선 E1은 1차원이며, 평면 E2은 2차원이다. 보다 일반적으로, En은 n차원이다. 또한 4차원 초입방체는 4차원 대상의 좋은 예가 된다.

아래는 수학의 여러 분야에서 쓰이는 차원 개념들의 목록이다.

벡터 공간편집

벡터 공간기저에 속하는 원소의 수(보다 일반적으로는 기저의 기수)를 그 벡터 공간의 차원이라고 한다.

다양체편집

연결 위상다양체부분적으로 n차원 유클리드 공간과 위상동형이며, 이때 이 다양체를 n차원이라고 한다. 이 방법으로, 모든 연결 위상다양체에 대해 차원이 유일하게 정의됨을 보일 수 있다.

위상수학에서 1차원 및 2차원의 다양체론은 대체로 간단하고, 차원이 5 이상인 경우는 많은 수의 차원 상에서의 작업을 통해 문제를 간략화시킬 수 있는 반면, 3차원과 4차원의 경우가 가장 어려운 경우가 많다. 이는 푸앵카레 추측을 비롯한 여러 경우에서 나타난 현상이다.

가환환의 크룰 차원편집

가환환크룰 차원볼프강 크룰 (Wolfgang Krull)의 이름을 따 지어진 개념으로, 소 아이디얼들의 강한 포함관계(strict inclusion)에 의한 사슬의 길이가 가질 수 있는 극대값으로 정의된다.

같이 보기편집

각주편집

  1. 미치오 카쿠,《초공간》,김영사,1997년

외부 링크편집