체르멜로-프렝켈 집합론

수학에서, 선택 공리를 추가한 체르멜로-프렝켈 집합론(選擇公理를追加한Zermelo-Fraenkel集合論, 영어: Zermelo–Fraenkel set theory with the axiom of choice, 약자 ZFC)은 공리적 집합론의 하나이다. 현대 수학의 표준적인 수학기초론으로 사용된다.

정의

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선택 공리를 추가한 체르멜로-프렝켈 집합론1차 논리를 기반으로 하는 1차 집합론이며, 등호 밖에 하나의 이항 관계  만을 가진다. 논의 영역집합들이다 (집합은 공리를 통해 묘사되기만 할 뿐 직접적으로 정의되지는 않는다). 이항 관계  는 "  원소"라고 읽는다.

 
 

는 각각

 
 

를 줄여 쓴 것이다.

선택 공리를 추가한 체르멜로-프렝켈 집합론의 공리계는 다음과 같은 공리 7개 및 공리꼴 2개로 정의된다. 이들은 통상적인 1차 술어 논리 공리들에 추가로 가정한 것이다.

체르멜로-프렝켈 공리계(ZF)는 ZFC에서 선택 공리를 제외한 것이며, 체르멜로 공리계(Z)는 ZFC에서 선택 · 정칙성 · 치환 공리(꼴)를 제외한 것이다.

집합의 기본 성질

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확장공리와 정칙성 공리는 ZFC에서 쓰이는, 집합의 기본적인 성질들을 나타낸다. 즉, 집합은 순서 및 다른 추가 성질을 갖지 않는 구조이며 (확장성), 스스로를 포함하거나 기타 재귀적인 포함 관계를 가지지 못한다 (정칙성).

  1. 확장 공리(영어: axiom of extensionality) 혹은 외연 공리: 포함하는 원소가 전부 같은 두 집합은 서로 동일하다. 즉, 이는 사실상 집합의 동일함이 무엇인지를 정의한다. 확장 공리의 역은 서로 같은 집합이 포함하는 원소가 같다는 명제이며, 이는 이미 1차 논리의 공리이다.
     
  2. 정칙성 공리(영어: axiom of regularity) 혹은 기초 공리(영어: axiom of foundation): 공집합이 아닌 모든 집합은 자신과 서로소인 원소를 포함한다. 이에 따라, 스스로를 원소로 포함하는 집합이나, 스스로를 원소의 원소로 포함하는 집합 등은 존재할 수 없다. 사실, 정칙성 공리를 가정하면 이는 모든 모임 위에서도 성립하게 된다 (정초 관계#정초 모임 참고).
     

집합의 구성

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분류·치환 공리꼴과 짝·합집합·멱집합 공리들은 주어진 집합으로부터 새로운 집합을 구성하는 방법들을 정의한다. 즉, 이미 구성된 집합들로부터, 이들의 순서쌍·합집합·멱집합을 정의할 수 있으며, 또한 이미 구성된 집합에 주어진 성질을 만족시키는 부분집합을 취하거나 (분류 공리꼴), 함수에 대한 을 취할 수 있다 (치환 공리꼴).

  1. 분류 공리꼴(영어: axiom schema of specification):  가 집합이고  가 그 원소들이 만족할 수 있는 성질일 때, 이를 만족하는 것들로 이루어진  의 부분 집합이 존재한다. 여기에서 원소의 범위를 집합  로 제한하는 것은 러셀의 역설 등 역설을 피하기 위함이다. 1차 논리에서는 성질에 한정 기호를 가할 수 없으므로, 이는 낱개의 공리로 나타낼 수 없으며, 각 성질들에 대응하는 "무한 개"의 공리들로 구성된다.   또는  을 자유 변수로 가지는 (특히  를 자유 변수로 갖지 않는) 논리식  에 대하여,
     
  2. 치환 공리꼴(영어: axiom schema of replacement): 집합을 정의역으로 갖는, 형식적으로 정의된 함수가 있을 때, 그 치역을 포함하는 집합이 존재한다. 보다 엄밀하게 서술하면,   또는  을 자유변수로 가지는 (특히  를 자유 변수로 갖지 않는) 논리식  에 대하여,
     
    여기에서 한정 기호   을 줄여 쓴 것이다. 즉, 성질  를 만족하는  가 유일하게 존재함을 말한다.
  3. 짝 공리(영어: axiom of pairing): 임의의 두 집합에 대해, 둘 모두를 원소로서 포함하는 집합이 존재한다.
     
  4. 합집합 공리(영어: axiom of union): 임의의 집합에 대해, 거기에 포함되는 원소들에 포함되는 원소들을 전부 포함하는 집합이 존재한다.
     
  5. 멱집합 공리: 임의의 집합 x에 대해, x의 모든 부분집합을 원소로 갖는 집합 y가 존재한다.
     
    여기에서   를 줄여 쓴 것이다.

무한 공리와 선택 공리

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무한 공리와 선택 공리는 ZFC 공리계에서 비교적 더 논란이 되는 공리들이다. 무한 공리는 가산 무한 집합의 존재를 가정하며, 여기에 멱집합을 취하여 더 큰 무한 기수순서수들을 정의할 수 있다. 선택 공리에 따르면, 무한한 수의 집합들에서 각각 하나의 원소를 무작위로 고를 수 있는데, 이 때 고르는 방법은 명시되지 않으며, 일부 경우 명시할 수 없음을 보일 수 있다.

  1. 무한 공리: 공집합을 원소로 가지며, 만약  를 원소로 가진다면 언제나  도 원소로 가지는 집합  가 존재한다.
     
    여기서  이며, 공리 1부터 6까지를 이용해 임의의 집합  에 대해  가 유일하게 존재함을 증명할 수 있다.  공집합으로, 위의 공리들을 이용해 만약 집합이 하나라도 존재한다면 공집합이 유일하게 존재함을 증명할 수 있다. 정칙성 공리에 따라 항상  이므로, 이는
     
    를 의미한다. 이들은 각각 자연수로 정의할 수 있다.
     
     
    그렇다면, 이 공리는 자연수의 집합  의 존재를 의미한다. (만약 자연수를 다른 방법으로 정의하고 싶으면, 치환 공리꼴을 사용하여 이를 다른 정의로 번역할 수 있다.)
  2. 선택 공리: 공집합이 아닌 집합들의 집합  가 주어졌을 때,  의 각 원소로부터 하나씩의 원소를 고르는 함수  가 존재한다. 즉, 모든  에 대하여,   의 원소  를 골라낸다.
     
    여기서   의 모든 원소들의 합집합이며, 합집합 공리에 따라 존재한다.

성질

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ZFC의 논의 영역은 집합만을 포함하며, 고유 모임을 포함하지 않는다. 모임을 직접적으로 다루려면 폰 노이만-베르나이스-괴델 집합론이나 모스-켈리 집합론을 사용하여야 한다.

ZFC의 모든 집합은 집합으로 구성되어 있으며, 원자(영어: atom, urelement)를 갖지 않는다. 또한, ZFC의 집합은 정칙적이다. 즉, 정칙성 공리에 의하여

 

또는

 

와 같은, 무한히 재귀적인 집합이 존재할 수 없다.

체르멜로-프렝켈 집합론의 일부 공리들은 서로 독립적이지 않다. 예를 들어, 나머지 공리들로부터 짝 공리를 유도할 수 있다.

증명:

멱집합 공리에 따라, 집합  이 존재한다. 임의의 집합  가 주어졌을 때, 다음과 같은 논리식  를 생각하자.

 

(이는 집합론의 언어 이외의 기호를 사용하지만, 집합론의 언어의 기호만을 사용하도록 번역할 수 있다.)   를 자유 변수로 가지며,  의 원소에 대하여 유일한 집합을 대응시킨다. 치환 공리꼴에 따라,   의 상을 원소로 포함하는 집합이 존재한다.  의 상은  이며,  의 상은  이다.

상대적 무모순성

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ZF(C)와 같은 무모순성을 갖는 이론

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다음 이론들은 서로 등무모순적이다.[1]

  •  . 이는  에서 정칙성 공리를 생략한 공리계이다.[1]:Corollary IV.4.4; 162, Corollary V.2.14
  •  [1]:Corollary IV.4.4; 162, Corollary V.2.14
  •  
  •   + 도달 불가능한 기수가 존재하지 않는다.[1]:148, Exercise IV.19
  •   + 일반화 연속체 가설[1]:175, Corollary VI.4.9
  •   + 일반화 연속체 가설 + 도달 불가능한 기수가 존재하지 않는다.[1]:177, Corollary VI.4.13
  •  [1]:170, Corollary VI.3.4
  •  [1]:172, Corollary VI.3.11
  •  [1]:211, VII.5.17
  •  [1]:209, Corollary VII.5.15
  •  [1]:245, Exercise VII.E4
  •  [1]:148, Exercise IV.19
  •   (폰 노이만-베르나이스-괴델 집합론). 이는  보존적 확장이다. 즉, 순수하게 집합에 대한 명제에 대하여, ZFC에서의 증명 가능성과 NBG에서의 증명 가능성이 서로 동치다.

ZF(C)보다 약한 이론

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다음과 같은 이론들은  에 대하여 상대적으로 무모순적이지만 그 역은 성립하지 않는다.

 

이며,

 

이다.[1]:149, IV.30[2] 여기서  페아노 공리계이며,  는 체르멜로-프렝켈 집합론에서 무한 공리를 생략한 것이다. 따라서, (만약  가 무모순적이라면)   보다 무모순성에 따르면 더 강력하다. 물론,  이다.

마찬가지로, 다음이 성립한다.[1]:132, Theorem IV.6.5

 

여기서   에서 멱집합 공리를 제거하고, 대신 "모든 집합이 가산 집합이다"를 추가한 것이다. 사실,  이다. 여기서  은 유전적 가산 집합들의 집합이다.

마찬가지로, 다음이 성립한다.[1]:123, Theorem IV.3.13

 

여기서   에서 무한 공리를 제거하고, 대신 그 부정을 추가한 것이다. 사실,  이다.[3][4] 여기서  는 유전적 유한 집합들의 집합(즉, 폰 노이만 전체 번째 단계)이다.

마찬가지로, 다음이 성립한다.[5]:110, Theorem II.2.2

 

여기서   에서 치환 공리꼴을 그 부정으로 대체한 것이다. 사실,  이다.[6]

ZFC보다 강한 이론

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모스-켈리 집합론(영어: Morse–Kelley set theory) MK는 ZFC의 무모순성을 증명할 수 있어 ZFC보다 더 강한 이론이다.[5]:152, Exercise II.10.2 사실, MK의 유한한 수의 정리들을 공리들로 하는 이론  에 대하여,

 

이며, 특히  인 경우

 
 

이다.

만약 ZFC가 무모순적이라면, ZFC는 도달 불가능한 기수(및 기타 큰 기수)의 존재를 증명할 수 없다. 이는 ZFC+도달 불가능한 기수의 존재로부터 ZFC의 무모순성을 증명할 수 있기 때문이다. 사실,

 

인데, 이는 도달 불가능한 기수  에 대하여  이기 때문이다.

마찬가지로, ZF+약하게 도달 불가능한 기수의 존재는 ZFC의 무모순성을 보일 수 있다.

유한 공리화의 불가능성

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ZFC는 공리꼴(영어: axiom schema)을 포함하고 있으므로, 실제로는 무한히 많은 수의 공리들로 이루어져 있다. 리처드 몬터규는 1961년에 ZFC도 ZF도 (만약 무모순적이라면) 유한개의 공리로는 대체될 수 없음을 증명했다. 사실, ZFC의 유한 부분 이론  에 대하여, 항상

 

이다.[5]:131, Corollary II.5.4 반면, 폰 노이만-베르나이스-괴델 집합론(NBG)은 유한 개의 공리로 공리화할 수 있다.

역사

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1890년대의 칸토어 역설의 발견과 1901년의 러셀의 역설의 발견으로, 엄밀한 수학기초론의 필요성이 대두되었다.

1904년에 에른스트 체르멜로정렬 정리를 증명하기 위하여 선택 공리를 도입하였다. 1908년, 에른스트 체르멜로는 최초의 공리적 집합론인 체르멜로 집합론을 발표했다.[7] 그러나 체르멜로 집합론은 순서수를 구성하기에 부족하였다. 구체적으로, 체르멜로 집합론에서는 알레프 수  를 정의할 수 없다. 또한, 체르멜로의 분류 공리꼴(독일어: Axiom der Aussonderung)에는 "명확한"(독일어: definit) 성질이라는 표현이 포함되어 있었는데, 이 개념은 엄밀하게 정의되지 않았다.

1907년에 러시아의 수학자 드미트리 미리마노프(러시아어: Дми́трий Семёнович Мирима́нов)는 집합의 정칙성의 개념을 정의하였고, 이 성질이 체르멜로의 공리계로부터 유도되지 않는다는 사실을 지적하였다.

1910년에 헤르만 바일은 "명확한" 성질을 1차 논리로 정의할 수 있는 성질로 정의하였다.[8] 1922년에 토랄프 스콜렘 또한 같은 제안을 하였다.[9]

또한, 1922년에 아브라함 프렝켈[10]과 스콜렘[9] 은 체르멜로의 공리계에 치환 공리꼴(독일어: Ersetzungsaxiom)을 추가하였다. 존 폰 노이만은 여기에 집합의 정칙성을 표현하는 정칙적 공리를 추가하여 ZFC를 완성하였다.

같이 보기

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각주

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  1. Kunen, Kenneth (1980). 《Set theory: an introduction to independence proofs》. Studies in Logic and the Foundations of Mathematics (영어) 102. North-Holland. ISBN 978-0-444-86839-8. MR 597342. Zbl 0534.03026. 2016년 9월 11일에 원본 문서에서 보존된 문서. 2016년 8월 8일에 확인함. 
  2. Kaye, Richard; Wong, Tin Lok (2007). “On interpretations of arithmetic and set theory”. 《Notre Dame Journal of Formal Logic》 (영어) 48 (4): 497–510. doi:10.1305/ndjfl/1193667707. ISSN 0029-4527. MR 2357524. Zbl 1137.03019. 
  3. Roitman 2011, 136쪽
  4. Cohen 2008, 54쪽, states: "The first really interesting axiom [of ZF set theory] is the Axiom of Infinity. If we drop it, then we can take as a model for ZF the set M of all finite sets which can be built up from ∅. [...] It is clear that M will be a model for the other axioms, since none of these lead out of the class of finite sets."
  5. Kunen, Kenneth (2011). 《Set theory》. Studies in Logic (London) (영어) 34. London: College Publications. ISBN 978-1-84890-050-9. MR 2905394. Zbl 1262.03001. 
  6. Smullyan & Fitting 2010, 96쪽
  7. Zermelo, Ernst (1908). “Untersuchungen über die Grundlagen der Mengenlehre I”. 《Mathematische Annalen》 (독일어) 65: 261–281. doi:10.1007/BF01449999. JFM 39.0097.03. 
  8. Weyl, H. (1910). “Über die Definitionen der mathematischen Grundbegriffe”. 《Mathematisch-naturwissenschaftliche Blätter》 (독일어) 7: 93–95, 109–113. JFM 41.0089.03. 
  9. Skolem, T. (1923). 〈Einige Bemerkungen zur axiomatischen Begründung der Mengenlehre〉. 《Matematikerkrongressen i Helsingfors den 4–7 Juli 1922, Den femte skandinaviska matematikerkongressen, redogörelse》 (독일어). 217–232쪽. JFM 49.0138.02. 
  10. Fraenkel, A. A. (1922). “Zu den Grundlagen der Cantor-Zermeloschen Mengenlehre”. 《Mathematische Annalen》 (독일어) 86: 230–237. doi:10.1007/BF01457986. JFM 48.0199.04. 

외부 링크

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