초기하함수

초기하함수(超幾何函數, 영어: hypergeometric function)는 기하급수를 일반화시키는 일련의 특수 함수들이다. 일련의 거듭제곱 급수로 나타내어지고, 어떤 선형 상미분 방정식을 만족시킨다.

정의

초기하 미분 방정식(영어: hypergeometric differential equation)은 미지 함수 $w(z)$에 대한, 다음과 같은 꼴의 $\max\{p,q+1\}$차 선형 상미분 방정식이다.

$z\prod _{n=1}^{p}\left(z{\frac {d}{dz}}+a_{n}\right)w(z)=z{\frac {d}{dz}}\prod _{n=1}^{q}\left(z{\frac {d}{dz}}+b_{n}-1\right)w(z)$

여기서

$\mathbf {a} =(a_{1},\dots ,a_{p})\in \mathbb {R} ^{p}$

$\mathbf {b} =(b_{1},\dots ,b_{q})\in \mathbb {R} ^{q}$

는 임의의 상수들이다. 이 방정식의 해는 다음과 같은 급수로 전개시킬 수 있다.

${}_{p}F_{q}(\mathbf {a} ;\mathbf {b} ;z)=\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {(\mathbf {a} )_{n}}{(\mathbf {b} )_{n}}}{\frac {z^{n}}{n!}}$

여기서

$(x)_{n}=x(x+1)\cdots (x+n-1)$

은 상승 포흐하머 기호이며,

$(\mathbf {a} )_{n}=(a_{1})_{n}(a_{2})_{n}\cdots (a_{p})_{n}$

$(\mathbf {b} )_{n}=(b_{1})_{n}(b_{2})_{n}\cdots (b_{q})_{n}$

이다. 이 급수 ${}_{p}F_{q}$를 초기하급수(영어: hypergeometric series)라고 하며, 만약 이 급수가 수렴하는 경우 초기하함수라고 한다.

성질

정의에 따라, 초기하함수 ${}_{p}F_{q}(\mathbf {a} ;\mathbf {b} ;z)$는 $\{a_{1},\dots ,a_{p}\}$나 $\{b_{1},\dots ,b_{q}\}$의 순서에 관계없다. 또한, 만약 $\{a_{1},\dots ,a_{p}\}$와 $\{b_{1},\dots ,b_{q}\}$에 교집합이 있으면, 이들을 서로 약분할 수 있다. 예를 들어 $a_{p}=b_{q}$라면

${}_{p}F_{q}(a_{1},\dots ,a_{p};b_{1},\dots ,b_{q};z)={}_{p-1}F_{q-1}(a_{1},\dots ,a_{p-1};b_{1},\dots ,b_{q-1};z)$

이다.

미분

급수 전개에 따라, 초기하함수의 미분은 다음과 같다.

${\frac {d^{n}}{dz^{n}}}{}_{p}F_{q}(\mathbf {a} ;\mathbf {b} ;z)={\frac {(\mathbf {a} )_{n}}{(\mathbf {b} )_{n}}}{}_{p}F_{q}(\mathbf {a} +n;\mathbf {b} +n;z)$

여기서 $\mathbf {a} +n=(a_{1}+n,a_{2}+n,\dots ,a_{p}+n)$이며, $\mathbf {b} +n$의 경우도 마찬가지다.

모노드로미

복소 상미분 방정식

$z\left(z{\frac {d}{dz}}+\alpha _{1}\right)\cdots \left(z{\frac {d}{dz}}+\alpha _{n}\right)f=\left(z{\frac {d}{dz}}+\beta _{1}-1\right)\cdots \left(z{\frac {d}{dz}}+\beta _{n}-1\right)f$

의 $n$개의 선형 독립 해는

$z^{1-\beta _{i}}{}_{n}F_{n-1}(\alpha _{1}-\beta _{i}+1,\dots ,\alpha _{n}-\beta _{n}+1;\beta _{1}-\beta _{i},\dots ,{\widehat {\beta _{i}-\beta _{i}+1}},\dots ,\beta _{n}-\beta _{i}+1;z)\qquad (i=1,\dots ,n)$

이다. (여기서 $\cdots {\hat {x}}\cdots$는 $x$를 제외한 목록을 뜻한다.) 이는 푹스 방정식(해가 정칙 특이점만을 갖는 방정식)이며, 리만 구 위의 (정칙) 특이점은 $\{0,1,{\widehat {\infty }}\}\in {\hat {\mathbb {C} }}$이다. 이들은 특이점 근처에서 모노드로미를 가진다.

• $1$ 근처에서, 초기하 방정식은 $n-1$개의 선형 독립 해들을 갖는다. 나머지 하나의 해는 1 근처에서 모노드로미를 가지므로 포함되지 않는다.
• $0$ 또는 ${\widehat {\infty }}$ 근처에서, 초기하 방정식의 해들은 항상 모노드로미를 가지므로, 이 근처에서는 일반적으로 해가 존재하지 않는다.
• $z\neq 0,1,{\widehat {\infty }}$ 근처에서는 $n$개의 선형 독립 해가 존재한다.

어떤 밑점 $z_{0}\in {\hat {\mathbb {C} }}\setminus \{0,1,{\widehat {\infty }}\}$ 근처에서의 위 방정식의 해의 벡터 공간을 $V_{z_{0}}(\alpha _{1},\dots ,\alpha _{n};\beta _{1},\dots ,\beta _{n})$라고 하자. 이는 $n-1$차원의 복소 벡터 공간이다. 그렇다면, 모노드로미에 따라서 기본군의 다음과 같은 군 표현이 존재한다.

$\phi \colon \pi _{0}({\hat {\mathbb {C} }}\setminus \{0,1,{\widehat {\}}};z_{0})\to \operatorname {GL} (V_{z_{0}})$

임의의 $i\in \{1,\dots ,n\}$에 대하여, 초기하 함수 를 생각하자. 그렇다면 기본군 $\pi _{0}({\hat {\mathbb {C} }}\setminus \{0,1,{\widehat {\}}};z_{0})=\langle g_{0},g_{1},g_{\infty }|g_{0}g_{1}g_{\infty }=1\rangle$의 작용은 다음과 같다.

• $\phi (g_{0})$의 고윳값은 $\exp(-2\pi i\beta _{i})$이다 $(i=1,\dots ,n)$.
• $\phi (g_{\infty })$의 고윳값은 $\exp(2\pi i\alpha _{i})$이다 $(i=1,\dots ,n)$.
• $\phi (g_{1})$은 중복수가 $n-1$인 고윳값 1을 갖는다.

이 조건을 충족시키는 군 표현은 유일하며, 이를 초기하군 $H(\alpha _{i},\beta _{i})$라고 한다.

예

₀F₀

${}_{0}F_{0}(;;z)=\exp z$는 지수 함수이다.

₁F₀

${}_{1}F_{0}(a;;z)=(1-z)^{-a}$는 기하급수이다. 이로부터 "초기하"라는 이름이 유래하였다.

₀F₁

${}_{0}F_{1}(;b;z)$는 합류 초기하 극한 함수(영어: confluent hypergeometric limit function)라고 하며, 다음과 같이 베셀 함수로 나타낼 수 있다.

$J_{\alpha }(x)={\frac {({\tfrac {x}{2}})^{\alpha }}{\Gamma (\alpha +1)}}{}_{0}F_{1}\left(;\alpha +1;-{\tfrac {1}{4}}x^{2}\right)$

₁F₁

${}_{1}F_{1}(a;b;z)$는 제1종 합류 초기하함수(영어: confluent hypergeometric function of the first kind)라고 한다.

₂F₁

${}_{2}F_{1}(a,b;c;z)$는 가우스 초기하함수(영어: Gaussian hypergeometric function)라고 하며, 초기하함수 가운데 가장 자주 등장한다. 보통 첨자의 언급 없이 "초기하함수"라고 하면 가우스 초기하함수를 가리킨다.

가우스 초기하함수의 특수한 경우로는 다음을 들 수 있다.

$2z{}_{2}F_{1}(1/2,1;3;z^{2})=\arcsin z$

${\frac {\pi }{2}}{}_{2}F_{1}(1/2,1/2;1;z^{2})=K(z)=\int _{0}^{1}{\frac {dx}{\sqrt {(1-x^{2})(1-z^{2}x^{2})}}}$

여기서 $K(z)$는 제1종 타원적분이다.

_nF_n−1

${}_{n}F_{n-1}$을 $n$차 클라우센-토메 초기하함수(영어: Clausen–Thomae hypergeometric function)라고 한다. 이는 토마스 클라우센(덴마크어: Thomas Clausen)과 카를 요하네스 토메(독일어: Carl Johannes Thomae)의 이름을 땄다. 이는 기하급수 ${}_{1}F_{0}$ 및 가우스 초기하함수 ${}_{2}F_{1}$의 일반화이며, 가우스 초기하함수와 마찬가지로 흥미로운 모노드로미 이론을 갖는다.

참고 문헌

• Beukers, F. (2007). 〈Gauss’ hypergeometric function〉 (PDF). Rolf-Peter Holzapfel. 《Arithmetic and Geometry around Hypergeometric Functions》. Progress in Mathematics (영어) 260. Birkhäuser. 23–42쪽. Zbl 1118.14012. 
• 大島, 利雄 (2013년 3월). 〈An elementary approach to the Gauss hypergeometric function〉. 《Representation Theory of Algebraic Groups and Related Topics: Proceedings of the workshop on Representation Theory, September 15,16, 2012, Josai University》. Josai Mathematical Monographs (영어) 6. 3–23쪽. ISSN 1344-7777. 
• Beukers, F. (2014년 1월). “Hypergeometric functions: how special are they?”. 《Notices of the American Mathematical Society》 (영어) 61 (1): 48–56. doi:10.1090/noti1065. 
• Gasper, George; Mizan Rahman (2004). 《Basic hypergeometric series》. Encyclopedia of Mathematics and Its Applications (영어) 96 2판. Cambridge University Press. doi:10.1017/CBO9780511526251. ISBN 0-521-83357-4. Zbl 1129.33005.  CS1 관리 - 추가 문구 (링크)
• Yoshida, Masaaki (1997). 《Hypergeometric functions, my love: modular interpretations of configuration spaces》. Aspects of Mathematics (영어) 32. Vieweg+Teubner. doi:10.1007/978-3-322-90166-8. ISBN 978-3-322-90168-2. ISSN 0179-2156. MR 1453580. Zbl 0889.33008. 
• Slater, Lucy Joan (1966). 《Generalized hypergeometric functions》 (영어). Cambridge University Press. ISBN 0-521-06483-X. MR 0201688. Zbl 0135.28101. 

외부 링크

• “Hypergeometric function”. 《Encyclopedia of Mathematics》 (영어). Springer-Verlag. 2001. ISBN 978-1-55608-010-4. 
• “Hypergeometric equation”. 《Encyclopedia of Mathematics》 (영어). Springer-Verlag. 2001. ISBN 978-1-55608-010-4. 
• “Hypergeometric series”. 《Encyclopedia of Mathematics》 (영어). Springer-Verlag. 2001. ISBN 978-1-55608-010-4. 
• Weisstein, Eric Wolfgang. “Hypergeometric function”. 《Wolfram MathWorld》 (영어). Wolfram Research. 
• Weisstein, Eric Wolfgang. “Generalized hypergeometric function”. 《Wolfram MathWorld》 (영어). Wolfram Research. 
• Cattani, Eduardo (2006년 7월 14일). “Three lectures on hypergeometric functions” (PDF) (영어). 
• 이철희. “오일러-가우스 초기하함수2F1”. 《수학노트》.