극소 다항식 (체론)

(최소다항식에서 넘어옴)

체론에서, 최소 다항식(最小多項式, 영어: minimal polynomial)은 체의 어떤 원소가 만족시키는 가장 간단한 일계수 다항식이다.

정의편집

체의 확대   및 원소  가 주어졌다고 하자. 그렇다면, 다음과 같은 집합을 정의하자.

 

그렇다면   아이디얼을 이룬다.  주 아이디얼 정역이므로, 이는 항상 주 아이디얼이다. 그렇다면 다음과 같은 두 가지 경우가 존재한다.

  •  이다. 이 경우,  초월 확대이다.
  •  가 되는 일계수 다항식  가 존재한다. 이 경우,   최소 다항식이라고 한다. (이러한 일계수 다항식은 유일하며,  에 속하는 다른 모든 일계수 다항식들은  보다 차수가 더 크다.)

성질편집

최소 다항식은 항상 기약 다항식이다. 귀류법을 써서,  에서  의 최소 다항식  가 인수 분해가 가능하다면 ( ),  정역이므로  이거나  이며,  이다. 그러나   의 최소 차수 일계수 다항식이므로, 이는 불가능하다.

대수적 확대  에서,  완전체라면 임의의  에 대하여  의 (대수적 폐포  에서의) 근들은 서로 겹치지 않는다. 그러나  가 완전체가 아닐 경우 이는 성립하지 않을 수 있으며, 이 경우  분해 가능 확대가 아니라고 한다.

편집

체의 확대  에서,  라면,  이다.

실수체의 확대인 복소수체  에서,  의 최소 다항식은 다음과 같다.

 

대수적 수체편집

이차 수체  에서,  제곱 인수가 없는 정수라고 하자. 그렇다면  의 최소 다항식은  이다.

   위에서의 최소 다항식은 다음과 같다.

 

원분체  에서,  의 최소 다항식은 원분 다항식(영어: cyclotomic polynomial)  이라고 하며, 다음과 같다.

 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 

특히,  소수일 경우

 

이다.

분해 가능 확대가 아닌 확대에서의 최소 다항식편집

분해 가능 확대가 아닌 체의 확대  에서,  의 최소 다항식은

 

이다. 이 경우,   위에서

 

이다. 즉,  는 분해 가능 다항식이 아니다.

참고 문헌편집

같이 보기편집

외부 링크편집