축약사상

수학에서 축약사상(縮約寫像) 또는 축소사상(縮小寫像, 영어: contraction mapping)은 거리 공간 사이에 정의된, 두 점 사이의 거리를 일정 비율 이하로 축소시키는 함수이다. .

정의

거리 공간 $(M,d)$와 함수 $f:M\to M$에 대하여, 임의의 $x,y\in M$에 대해

$d(f(x),f(y))\leq k\cdot d(x,y)$

인 $0\leq k<1$가 존재하는 경우 $f$를 $(M,d)$ 위의 축약사상이라고 한다.

위 조건을 만족시키는 가장 작은 $k$를 함수 $f$의 립시츠 상수(영어: Lipschitz constant)라고 한다. 축약사상은 때로 립시츠 사상(영어: Lipschitzian map)으로 불린다.

거리 사상은 위 조건이 어떤 $k\leq 1$에 대해 만족하는 경우이다.

더 일반적으로, 두 거리 공간 $(M,d)$, $(N,d')$과 함수 $f:M\to N$에 대해

$d'(f(x),f(y))\leq k\cdot d(x,y)$

가 임의의 $x,y\in M$에게 성립하는 $k<1$가 존재할 때 $f$를 축약사상이라고 한다.

성질

모든 축약사상은 립시츠 연속이며 따라서 균등 연속이다.

모든 축약사상은 많아야 하나의 고정점을 가진다. 바나흐 고정점 정리에 따르면, 공집합이 아닌 완비 거리 공간 $M$ 위의 축약사상은 하나의 유일한 고정점 $x^{*}$을 가지며 임의의 $x\in M$에 대해 반복함수열 $x,f(x),f(f(x)),\ldots$는 $x^{*}$으로 수렴한다. 이 정리는 반복함수계에 유용하며 상미분방정식의 해의 존재성과 역함수 정리를 증명하는 데 쓰인다.

준축소사상

거리 공간 $(M,d)$ 위의 준축약사상 또는 준축소사상(영어: subcontraction map)은 다음을 만족하는 함수 $f:M\to M$이다.

• $d(f(x),f(y))\leq d(x,y)$
• $f(x)\neq x$이면 $d(f(f(x)),f(x))<d(f(x),x)$

$f$의 치역이 콤팩트하면 $f$는 고정점을 가진다.

같이 보기

• 거리 사상

참고 문헌

• Vasile I. Istratescu, Fixed Point Theory, An Introduction, D.Reidel, Holland (1981). ISBN 90-277-1224-7 provides an undergraduate level introduction.
• Goldstein, A.A. (1967). 《Constructive real analysis》. Harper’s Series in Modern Mathematics. New York-Evanston-London: Harper and Row. Zbl 0189.49703. 
• Andrzej Granas and James Dugundji, Fixed Point Theory (2003) Springer-Verlag, New York, ISBN 0-387-00173-5
• William A. Kirk and Brailey Sims, Handbook of Metric Fixed Point Theory (2001), Kluwer Academic, London ISBN 0-7923-7073-2