축약사상

수학에서 축약사상(縮約寫像) 또는 축소사상(縮小寫像, 영어: contraction mapping)은 거리 공간 사이에 정의된, 두 점 사이의 거리를 일정 비율 이하로 축소시키는 함수이다. .

정의편집

거리 공간  함수  에 대하여, 임의의  에 대해

 

 가 존재하는 경우    위의 축약사상이라고 한다.

위 조건을 만족시키는 가장 작은  를 함수  립시츠 상수(영어: Lipschitz constant)라고 한다. 축약사상은 때로 립시츠 사상(영어: Lipschitzian map)으로 불린다.

거리 사상은 위 조건이 어떤  에 대해 만족하는 경우이다.

더 일반적으로, 두 거리 공간  ,  과 함수  에 대해

 

가 임의의  에게 성립하는  가 존재할 때  를 축약사상이라고 한다.

성질편집

모든 축약사상은 립시츠 연속이며 따라서 균등 연속이다.

모든 축약사상은 많아야 하나의 고정점을 가진다. 바나흐 고정점 정리에 따르면, 공집합이 아닌 완비 거리 공간   위의 축약사상은 하나의 유일한 고정점  을 가지며 임의의  에 대해 반복함수  으로 수렴한다. 이 정리는 반복함수계에 유용하며 상미분방정식의 해의 존재성과 역함수 정리를 증명하는 데 쓰인다.[1]

준축소사상편집

거리 공간   위의 준축약사상 또는 준축소사상(영어: subcontraction map)은 다음을 만족하는 함수  이다.

  •  
  •  이면  

 치역콤팩트하면  고정점을 가진다.[2]

같이 보기편집

참고 문헌편집

  1. Theodore Shifrin, Multivariable Mathematics, Wiley, 2005, ISBN 0-471-52638-X, pp. 244–260.
  2. Goldstein (1967) p.17
  • Vasile I. Istratescu, Fixed Point Theory, An Introduction, D.Reidel, Holland (1981). ISBN 90-277-1224-7 provides an undergraduate level introduction.
  • Goldstein, A.A. (1967). 《Constructive real analysis》. Harper’s Series in Modern Mathematics. New York-Evanston-London: Harper and Row. Zbl 0189.49703. 
  • Andrzej Granas and James Dugundji, Fixed Point Theory (2003) Springer-Verlag, New York, ISBN 0-387-00173-5
  • William A. Kirk and Brailey Sims, Handbook of Metric Fixed Point Theory (2001), Kluwer Academic, London ISBN 0-7923-7073-2