치른하우스 변형

치른하우스 변형(독일어: Tschirnhaus transformation)은 독일의 수학자 에렌프리트 발터 폰 치른하우스(Ehrenfried Walther von Tschirnhaus)에 의해 제안되고 증명된 방법이다. 2차 이상 다항식에서 포물선 또는 보다 복잡한 곡선을 결과적으로 가정했을 때 그 축과의 관계를 정리한 것이다.

2차식 이상에서의 다항 방정식 변형을 위한 과정에 응용된다.

2차방정식에서의 과정

$x^{2}+{b \over a}x+{c \over a}=0,\qquad x=y-{b \over \mathbf {2} a}$

$\left(y-{b \over \mathbf {2} a}\right)^{2}+{b \over a}\left(y-{b \over \mathbf {2} a}\right)+{c \over a}=0$

우선, $\left(y-{b \over \mathbf {2} a}\right)^{2}=\left(y-{b \over \mathbf {2} a}\right)\left(y-{b \over \mathbf {2} a}\right)=\left(y^{2}-{b \over 2a}y-{b \over 2a}y+\left({b \over \mathbf {2} a}\right)^{2}\right)$

$=\left(y^{2}-2{b \over 2a}y+\left({b \over \mathbf {2} a}\right)^{2}\right)=\left(y^{2}-{b \over a}y+\left({b \over \mathbf {2} a}\right)^{2}\right)$

따라서,

$\left(y^{2}-{b \over a}y+\left({b \over \mathbf {2} a}\right)^{2}\right)+{b \over a}\left(y-{b \over \mathbf {2} a}\right)+{c \over a}=0$

$\left(y^{2}-{b \over a}y+\left({b \over \mathbf {2} a}\right)^{2}\right)+\left({b \over a}y-{b \over a}{b \over \mathbf {2} a}\right)+{c \over a}=0$

$\left(y^{2}-{b \over a}y+\left({b \over \mathbf {2} a}\right)^{2}\right)+\left({b \over a}y-{b^{2} \over \mathbf {2} a^{2}}\right)+{c \over a}=0$

$y^{2}{\cancel {-{b \over a}y}}+\left({b \over \mathbf {2} a}\right)^{2}{\cancel {+{b \over a}y}}-{b^{2} \over \mathbf {2} a^{2}}+{c \over a}=0$

$y^{2}+\left({1 \over 4}\left({b \over a}\right)^{2}-{1 \over 2}\left({b \over a}\right)^{2}\right)+{c \over a}=0$

$y^{2}-{1 \over 4}\left({b \over a}\right)^{2}+{c \over a}=0$

$y^{2}-\left({b^{2} \over 4a^{2}}\right)+{c \over a}=0$

$y^{2}={b^{2} \over 4a^{2}}-{c \over a}$

$y^{2}={{ab^{2}-4a^{2}c} \over 4a^{3}}$

$y^{2}={{b^{2}-4ac} \over 4a^{2}}$

$y^{2}-{{b^{2}-4ac} \over 4a^{2}}=0$

$y^{2}+p=0$의 형태로 정리된다.

이러한 압축정리($zipping$)를 위한 값 $-{b \over \mathbf {n} a}$는 $n$차함수의 곡선 꼭지점 및 축의 정보이다.

여기서 $p$는 $-{{b^{2}-4ac} \over 4a^{2}}$이다.

결과적으로 이러한 절차로 정리하는 것은 차고차항이 압축되어 없어지게 함으로써 방정식을 보다 단순화시킬 수 있게 된다. 1786년에 브링(E.S. Bring)은 일반적인 5차 방정식이 이러한 형태로 축소 될 수 있음을 보여주었다.

응용

다항 방정식에서 양변의 각 항들을 해당 방정식의 최고차 항( $n$차항)의 $x$의 계수 $a$로 나눈 다음 $\textstyle x=y-{b \over \mathbf {n} a}$의 형태로 치환해서 차고차 항(최고차 항의 바로 아랫차항)의 정보를 변형된 다른 항들로 분산시키고 사라지게 할 수 있다.

예를 들어, 3차 방정식

$ax^{3}+bx^{2}+cx+d=0$은

$x=y-{{b} \over {3a}}$에서 다음의 꼴로 정리되고,

$x^{3}+{b \over a}x^{2}+{c \over a}x+d=0$

$y^{3}+py+q=0$의 형태로 정보가 압축된다.

그리고

$p={{3ac-b^{2}} \over {3a^{2}}}$

$q={{2b^{3}-9abc+27a^{2}d} \over {27a^{3}}}$

같이 보기

• 3차방정식
• 포물선

참고 문헌

• C. B. Boyer,수학의 역사. New York : Wiley, pp. 472-473, 1968