카라테오도리 확장 정리

측도론에서, 카라테오도리 확장 정리(Carathéodory擴張定理, 영어: Carathéodory’s extension theorem) 또는 한-콜모고로프 정리(Hahn-Колмого́ров定理, 영어: Hahn–Kolmogorov theorem)는 완비 측도를 특수한 부분 집합의 측도 값들로부터 구성하는 정리이다.

정의편집

다음이 주어졌다고 하자.

  • 집합  
  • 집합 반환(集合半環, 영어: semiring of sets)  . 즉, 이는 다음 세 조건을 만족시키는 집합족이다.
    •  
    • (유한 교집합에 대한 닫힘) 임의의  에 대하여,  
    • 임의의  에 대하여,  인 유한 개의 서로소 집합  이 존재한다.
  • 준측도(準測度, 영어: premeasure)  . 즉, 이는 다음 두 조건을 만족시키는 함수이다.
    •  
    • (준측도 가산 가법성) 임의의 가산 개의 서로소 집합  에 대하여, 만약  이라면,  
      • (단조성) 특히, 만약  이며  라면,  이다. (아래 증명 참고)
      • (준측도 가산 준가법성) 특히, 만약  이며  이라면,  이다. (아래 증명 참고)

또한,

 
 

 으로 유도된 외측도라고 하고,

 

 -카라테오도리 가측 집합의 집합이라고 하자. 카라테오도리 확장 정리에 따르면, 다음이 성립한다.

  •   부분 시그마 대수를 이룬다.
  •  완비 측도를 이룬다.
  •   (따라서  )
  •  
  • 만약  시그마 유한 준측도라면 (즉,  이며   이 존재한다면),   을 확장하여 얻을 수 있는   위의 유일한 측도이다.

여기서   을 포함하는 최소의 시그마 대수이다.

증명편집

우선,  는 추상적 외측도라는 것을 증명하자. 우선 자명하게  이며, 또한 만약  라면  이다. 따라서  가 가산 준가법성을 만족시킨다는 것을 보이면 된다. 임의의 가산 개의 부분 집합  가 주어졌다고 하자. 그렇다면 임의의 양의 실수   에 대하여,

 

이며   이 존재한다. 그렇다면  이므로,

 

이다.

 -카라테오도리 가측 집합의 집합   의 부분 시그마 대수라는 사실과  는 그 위의 완비 측도라는 사실은  가 (추상적) 외측도라는 세 가지 조건만을 사용하여 증명된다. 우선,   부분 불 대수임을 보이자. 우선 자명하게  이며, 임의의  에 대하여  이다. 따라서  가 유한 합집합에 대하여 닫혀 있음을 보이면 된다. 임의의   에 대하여,

 

이므로,  이다. 여기서 첫째, 둘째 줄의 등호는 각각   때문이며, 마지막 두 줄의 부등호는  의 가산 준가법성 때문이다.

이제,   의 부분 시그마 대수임을 보이자. 이는  가 서로소 집합의 가산 합집합에 대하여 닫혀 있음을 보이면 된다. 임의의 가산 개의 서로소 집합   및 임의의 부분 집합  가 주어졌다고 하자. 그렇다면, 임의의  에 대하여,

 

이다. 여기서 첫째, 셋째 줄의 등호는 각각   때문이며, 둘째 줄의 등호는  의 단조성 때문이다. 이에  에 대한 극한을 취하면

 

를 얻는다. 여기서 둘째, 셋째 부등식은  의 가산 준가법성 때문이다.

이제,    위의 완비 측도를 이룸을 보이자. 위 증명에서  를 취하면

 

를 얻으며, 이에 따라    위의 측도를 이룬다. 따라서 임의의 외측도가 0인 집합의 부분 집합이  -카라테오도리 가측 집합임을 보이면 된다. 이제   을 만족시키며, 또한  라고 하자. 그렇다면,

 

이다. 첫째 줄의 부등호는  의 가산 준가법성, 둘째 줄의 등호는   의 단조성, 셋째 줄의 부등호는   의 단조성 때문이다.

이제,  를 증명하자. 임의의   가 주어졌다고 하자. 그렇다면, 임의의 양의 실수  에 대하여,

 

이며   이 존재한다. 각  에 대하여,  인 서로소 집합  을 취하자. 그렇다면,

 
 

이므로,

 

이다. 여기서 첫째 줄의 부등호는  의 가산 준가법성, 셋째 줄의 등호는 준측도  의 가산 가법성 때문이다.

이제,  의 단조성을 증명하자.  이며  라고 하자. 그렇다면  인 서로소 집합  을 고를 수 있다. 그렇다면

 

이다.

이제, 준측도  의 가산 준가법성을 증명하자.  이며  이라고 하자. 그렇다면 각  에 대하여,

 

인 서로소 집합  을 고를 수 있다. 그렇다면 각  에 대하여

 

이므로,

 

이다. 여기서 둘째, 넷째 줄의 등호는 준측도  의 가산 가법성 때문이다.

이제,  를 증명하자. 임의의  이 주어졌다고 하자. 그렇다면 임의의 양의 실수  에 대하여,

 

이며   이 존재한다. 그렇다면

 

이다. 여기서 첫째 줄의 부등호는  의 정의, 셋째, 넷째 줄의 부등호는 각각 준측도  의 가산 준가법성, 단조성 때문이다.

마지막으로, 확장된 측도의  에서의 유일성을 증명하자. 임의의 두 측도  에 대하여, 만약  이며, 준측도  이 시그마 유한 준측도라면,  임을 보이면 된다. 이에 대한 증명에는  π계(즉, 유한 교집합에 대한 닫힘)라는 것을 제외한  에 대한 추가 조건은 사용되지 않는다.

 

라고 하자. 그렇다면,  λ계이며  이므로, π-λ 정리에 따라  이다.  이며   을 취하자. 그렇다면, 임의의  에 대하여,

 

이다. 여기서 셋째 줄의 등호는 포함배제의 원리 때문이며, 넷째 줄의 등호는 각  에 대하여  이기 때문이다.

역사편집

오늘날 카라테오도리 가측 집합이고 불리는 개념은 콘스탄티노스 카라테오도리가 도입하였다.[1][2] 오늘날 카라테오도리 확장 정리라고 불리는 정리는 모리스 르네 프레셰가 증명하였다.[3] 얼마 지나지 않아 카라테오도리의 방법을 통한 카라테오도리 확장 정리의 더 간단한 증명이 발견되었으며, 이는 안드레이 콜모고로프,[4][5] 한스 한,[6] 에베르하르트 호프[7][8]의 논문·저서에 소개되었다.

각주편집

  1. Carathéodory, C. (1914). “Über das lineare Maß von Punktmengen”. 《Nachr. Ges. Wiss. G¨ottingen, Math.-phys》 (독일어): 404–426. 
  2. Carathéodory, C. (1918). 《Vorlesungen über Reelle Funktionen》 (독일어). Leipzig–Berlin: B.G. Teubner. 
  3. Fréchet, M. (1924). “Des familles et fonctions additives d’ensembles abstraits. Suite”. 《Fund. Math.》 (프랑스어) 5: 206–251. 
  4. Kolmogorov, A. N. (1929). “General measure theory and probability calculus”. 《Trudy Komm. Akad. Matem.》 (러시아어) 1: 8–21. 
  5. Kolmogorov, A. N. (1933). 《Grundbegriffe der Wahrscheinlichkeitsrechnung》 (독일어). Berlin: Springer. 
  6. Hahn, H. (1933). “Über die Multiplikation total-additiver Mengenfunktionen”. 《Annali Scuola Norm. Super. Pisa》 (독일어) 2 (2): 429–452. 
  7. Hopf, E. (1934). “On causality, statistics and probability”. 《J. Math. Phys.》 (영어) 13: 51–102. 
  8. Hopf, E. (1937). 《Ergodentheorie》 (독일어). Berlin: Springer. 

참고 문헌편집

외부 링크편집