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카츠-무디 대수

리 이론에서, 카츠-무디 대수(Кац-Moody代數, 영어: Kač–Moody algebra)는 복소수 리 대수의 일종이다. 단순 리 대수아핀 리 대수의 공통적인 일반화이다.

정의편집

카츠-무디 대수  는 다음과 같은 데이터로 구성된다.

  •  는 정수 성분의   정사각 행렬이며, 그 계수 이다. 이를 (일반화) 카르탕 행렬(一般化Cartan行列, 영어: (generalized) Cartan matrix)이라고 한다.
  •   차원 복소수 벡터 공간이다. 이를 카르탕 부분 대수(Cartan部分代數, 영어: Cartan subalgebra)라고 한다.
  •   개의 선형 독립 벡터이며,   개의 선형 독립 벡터이다.  단순근(單純根, 영어: simple root),  단순쌍대근(單純雙對根, 영어: simple coroot)이라고 한다.

이들은 다음 조건을 만족시켜야 한다.

  • 모든  에 대하여,  
  • 모든  에 대하여,  
  • 모든  에 대하여, 만약  라면  
  • 모든  에 대하여, 만약  이라면  

이 경우, 카츠-무디 대수    및 생성원  ,  으로 생성되며, 다음과 같은 리 괄호를 갖는 복소수 리 대수이다.

 
 
 
 
 

여기서  슈발레 생성원(영어: Chevalley generator)라고 한다.

만약 카츠-무디 대수  의 카르탕 행렬  에 대하여,  대각 행렬  대칭 행렬  가 존재한다면,  대칭화 가능 카츠-무디 대수(영어: symmetrizable Kač–Moody algebra)라고 한다.

카츠-무디 대수  계수(영어: rank)  는 그 카르탕 행렬의 계수  와 같다.

근계편집

카츠-무디 대수  가 주어졌을 때, 만약   에 대하여

 

라면,   (根, 영어: root)이라고 하고,   근 벡터(根vector, 영어: root vector)라고 한다.  의 모든 근들의 집합을  라고 하자.

 의 근  에 대응하는 근공간(영어: root space)   에 대응하는 모든 근 벡터들의 집합이다. 즉, 다음과 같다.

 

이는 복소수 벡터 공간을 이룬다.

모든 카츠-무디 대수  는 복소수 벡터 공간으로서 다음과 같은 직합으로 나타내어진다.

 

또한, 모든 근  는 단순근들의 정수 계수 선형 결합이며, 이 경우 모든 계수들은 모두 양의 정수이거나 아니면 모두 음의 정수이다.

 

이 경우, 모두 양의 정수 계수들로 나타내어지는 근을 양근(陽根, 영어: positive root), 모두 음의 정수 계수들로 나타내어지는 근을 음근(陰根, 영어: negative root)이라고 한다.

모든 단순근  는 양근이며,  는 음근이다. 또한,   는 각각 대응하는 단순근 또는 그 반대 벡터의 근공간에 속한다.

 
 

딘킨 도표편집

카츠-무디 대수는 딘킨 도표(Дынкин圖表, 영어: Dynkin diagram)로 나타낼 수 있다. 이는 그래프의 일종이다. 카르탕 행렬  에 대응하는 딘킨 도표는 다음과 같다.

  • 딘킨 도표의 꼭짓점은  개가 있으며,  에 대응한다. 즉, 각 단순근에 대응한다.
  •  일 때, 두 꼭짓점   사이의 변의 수는  이다.
  • 만약  라면,    사이의 변에  로 향하는 화살표를 그린다.

실근과 허근편집

카츠-무디 대수  의 근  는 다음과 같이 두 종류로 분류된다.

  • 만약  가 단순근인 바일 군 원소  가 존재한다면,  실근(實根, 영어: real root)이라고 한다.
  • 실근이 아닌 근을 허근(虛根, 영어: imaginary root)이라고 한다.

분류편집

대칭화 가능 카츠-무디 대수  의 카르탕 행렬  는 대각 행렬과 대칭 행렬의 곱  로 나타낼 수 있다. 카츠-무디 대수는  부호수에 따라서 다음과 같이 분류된다.

  • 만약  양의 정부호일 경우,  는 (유한 차원) 단순 리 대수이다. 이 경우,  이다.
  • 만약  양의 준정부호이지만 양의 정부호가 아닐 경우,  아핀 리 대수이다. 이 경우,  이다.
  • 만약  부정부호일 경우,  부정부호 카츠-무디 대수(영어: indefinite Kač–Moody algebra)이다.
  • 대각선 성분들이 양수이므로,  는 음의 정부호이거나 음의 준정부호일 수 없다.

이들 가운데, 단순 리 대수아핀 리 대수는 완전히 분류되었다. 또한, 부정부호 카츠-무디 대수 가운데 쌍곡선형 카츠-무디 대수(영어: hyperbolic Kač–Moody algebra)라는 것은 총 238개가 있으며, 역시 완전히 분류되었다.[1] 그러나 단순 리 대수 · 아핀 리 대수 · 쌍곡 카츠-무디 대수가 아닌 것들은 아직 잘 알려지지 않았다.

역사편집

캐나다의 로버트 본 무디(영어: Robert Vaughan Moody)[2][3]토론토 대학교 박사 학위 논문에서 도입하였다. 이와 독자적으로 소비에트 연방빅토르 카츠가 거의 동시에 이들을 발견하였다.[4]

참고 문헌편집

  1. Carbone, Lisa; Chung, Sjuvon; COBBS, Leigh; McRae, Robert; Nandi, Debajyoti; Naqvi, Yusra; Penta, Diego. “Classification of hyperbolic Dynkin diagrams, root lengths and Weyl group orbits” (영어). arXiv:1003.0564. 
  2. Moody, Robert V. (1967). “Lie algebras associated with generalized Cartan matrices”. 《Bulletin of the American Mathematical Society》 (영어) 73 (2): 217–222. doi:10.1090/S0002-9904-1967-11688-4. ISSN 0273-0979. MR 0207783. 
  3. Moody, Robert V. (1968년 10월). “A new class of Lie algebras”. 《Journal of Algebra》 (영어) 10 (2): 211–230. doi:10.1016/0021-8693(68)90096-3. ISSN 0021-8693. 
  4. Кац, В. Г. (1968). “Простые неприводимые градуированные алгебры Ли конечного роста”. 《Известия Академии наук СССР. Серия математическая》 (러시아어) 32: 1923–1967. MR 259961. Zbl 0222.17007.  영역 Kac, V.G. (1968). “Simple irreducible graded Lie algebras of finite growth”. 《Mathematics of the USSR-Izvestiya》 (영어) 2 (6): 1271–1311. doi:10.1070/IM1968v002n06ABEH000729. ISSN 0025-5726. 

외부 링크편집