주 메뉴 열기

군론에서, 코시의 정리(영어: Cauchy's theorem)는 유한군의 크기의 소인수가 항상 어떤 원소의 위수라는 정리이다. 제1 쉴로브 정리의 특별한 경우이다.[1]:324

목차

정의편집

코시의 정리에 따르면, 만약  유한군의 크기  소인수라면,  는 위수가  인 원소를 갖는다.[1]:322

증명편집

우선 유한 아벨 군  에 대한 정리를 증명하자. 임의의  를 취하고

 

라고 가정하자. 그렇다면

 

이므로, 귀납 가설에 따라

 

 가 존재한다. 따라서

 

이다. 또한

 

이므로, (안 그러면  이므로 모순이다.)

 

이다. 이제 일반 유한군에 대한 정리를 증명하자.  가 최소 크기 반례라고 하자. 그렇다면 아벨 군이 아니다. 켤레류 방정식

 

에 따라,

 

이거나,

 

이다. (안 그러면  이므로 모순이다.) 따라서  는 반례가 아니며, 이는 모순이다.

역사편집

프랑스 수학자 오귀스탱 루이 코시의 이름이 붙어 있다.

같이 보기편집

참고 문헌편집

  1. Fraleigh, John B.; Katz, Victor (2003). 《A First Course In Abstract Algebra》. Addison-Wesley.