코시 적분 공식

복소해석학에서, 코시 적분 공식(-積分公式, 영어: Cauchy's integral formula)은 정칙 함수경곗값에 대한 경로 적분으로 나타내는 공식이다.

정의편집

유계 연결 열린집합  경계  가 유한 개의 조각마다   곡선으로 이루어졌고, 양의 방향을 가지며, 연속 함수   에서 정칙 함수라고 하자. 코시 적분 공식에 따르면, 임의의  에 대하여, 다음이 성립한다.[1]:87, §3.3, 정리1

 

우변의 적분을 코시 적분(-積分, 영어: Cauchy integral)이라고 부른다.

고계 도함수편집

이는  코시 변환을 가하여 얻는 함수이므로, 임의의 음이 아닌 정수   에 대하여,

 

이다.

코시 부등식편집

이에 따라, 임의의 음이 아닌 정수    에 대하여,

 

이다. 이를 코시 부등식이라고 한다.

증명편집

임의의  를 취하고,  을 생각하자. 그렇다면, 항등식

 
 

코시 적분 정리에 의하여,

 

이며, 따라서

 

이다.

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적분

 

를 생각하자. 함수

 

 

의 폐포에서 정칙 함수이므로, 코시 적분 정리에 의하여

 

이다. 첫째 항에서 함수

 

 

의 폐포에서 정칙 함수이므로, 코시 적분 공식에 의하여

 

이며, 마찬가지로 둘째 항에서 함수

 

 

의 폐포에서 정칙 함수이므로, 코시 적분 공식에 의하여

 

이다. 따라서,

 

이다.

각주편집

  1. 谭小江; 伍胜健 (2006년 2월). 《复变函数简明教程》. 北京大学数学教学系列丛书 (중국어). 北京: 北京大学出版社. ISBN 978-7-301-08530-1. 

외부 링크편집