코시 적분 정리

복소해석학에서, 코시 적분 정리(-積分定理, 영어: Cauchy's integral theorem)는 단일 연결 열린집합 위의 정칙 함수경로 적분이 경로와 무관하다는 정리이다.

정의편집

유계 연결 열린집합  경계  가 유한 개의 조각마다   곡선으로 이루어졌고, 양의 방향을 가지며, 연속 함수   에서 정칙 함수라고 하자. 코시 적분 정리에 따르면, 다음이 성립한다.[1]:84

 

이에 따라, 단일 연결 열린집합   위의 정칙 함수  의, 임의의 두 점   사이의 경로 적분

 

는 경로

 

의 선택에 의존하지 않는다.

증명편집

C1을 가정하는 증명편집

도함수   의 어떤 근방  에서 연속 함수임을 가정할 경우,[1]:84-85

 

 를 취하자. 그렇다면, 그린 정리코시-리만 방정식에 의하여,

 

이다.

C1을 가정하지 않는 증명편집

 
삼각형 열린집합에 대한 코시 적분 정리의 증명 도해

위와 같은 가정을 사용하지 않을 경우, 우선  삼각형 열린집합인 경우를 보이자.[1]:85-87

귀류법을 사용하여,

 

이라고 가정하자.  라고 하고, 삼각형 열린집합  의 세 변의 중점을 이어 얻는 4개의 작은 삼각형 열린집합  를 생각하자. 그렇다면,

 

이므로,

 

 가 존재한다. 이와 같이 반복하면, 다음을 만족시키는 삼각형 열린집합의 열  을 얻는다.

  •  
  •  
  •  
  •  

따라서,

 

 가 존재하며, 임의의  에 대하여,

 

이다.

 

이므로, 이는 모순이다.

이제, 일반적인 경우를 보이자.  는 유한 개의 단일 연결 열린집합의 합집합으로 분할되므로, 편의상  가 단일 연결 열린집합이라고 가정하자.

임의의  에 대하여,  균등 연속 함수이므로, 다음을 만족시키는 다각형 열린집합  가 존재한다.

  •  
  •  

다각형 열린집합  는 유한 개의 삼각형 열린집합의 합집합으로 분할되므로,

 

이며, 따라서

 

이다.

각주편집

  1. 谭小江; 伍胜健 (2006년 2월). 《复变函数简明教程》. 北京大学数学教学系列丛书 (중국어). 北京: 北京大学出版社. ISBN 978-7-301-08530-1. 

외부 링크편집