쿠쟁 문제

복소기하학에서 쿠쟁 문제(Cousin問題, 영어: Cousin problems)는 복소다양체 위의, 정칙 함수유리형 함수 사이의 관계에 대한 두 개의 유명한 문제이다.

정의편집

복소다양체  열린 덮개  유리형 함수  가 주어졌다고 하자.

제1 쿠쟁 문제편집

모든  에 대하여, 만약  이라면  정칙함수라고 하자. 그렇다면, 제1 쿠쟁 문제는 다음 조건을 만족시키는 유리형 함수  가 존재하는지에 대한 문제이다.

  • 모든  에 대하여,  정칙 함수이다.

이는 층 코호몰로지로 다음과 같이 서술할 수 있다.    위의 유리형 함수의 층이며,    위의 정칙 함수들의 층이라고 하자. 그렇다면 몫층  를 정의할 수 있으며, 자연스러운 사상

 

가 존재한다. 여기서  은 대역적 단면들의 아벨 군이다.

  의 대역적 단면을 정의한다. 만약 위 조건을 만족시키는 유리형 함수  가 존재한다면, 이는  가 사상  에 포함된다는 것과 같다. 즉, 제1 쿠쟁 문제는 사상  전사 사상인지 여부를 묻는다.

층 코호몰로지긴 완전열을 사용하면,  은 0차 층 코호몰로지  과 같으므로,

 

와 같은 긴 완전열이 존재한다. 따라서, 만약  자명군이라면  는 전사 사상이 되며, 제1 쿠쟁 문제가 해결 가능하다. 특히, 카르탕 B정리에 따라서, 만약  슈타인 다양체라면 제1 쿠쟁 문제가 해결 가능하다.

제2 쿠쟁 문제편집

모든  에 대하여, 만약  이라면  가 어디서나 0이 아닌 정칙함수라고 하자. 그렇다면, 제1 쿠쟁 문제는 다음 조건을 만족시키는 유리형 함수  가 존재하는지에 대한 문제이다.

  • 모든  에 대하여,  정칙함수이며, 어디서나 0이 아니다.

 가 어디서나 0이 아닌 정칙 함수들의 곱셈군의 층이며,  가 모든 곳에서 0이 아닌 유리형 함수들의 곱셈군의 층이라고 하자. 그렇다면 몫층   및 사상

 

를 정의할 수 있다. 이 경우   의 대역적 단면을 정의하며,   의 대역적 단면이다. 따라서, 제2 쿠쟁 문제는  전사 사상인지 여부와 동치이다.

제1 쿠쟁 문제와 마찬가지로, 층 코호몰로지긴 완전열을 사용하면

 

이다. 따라서, 제2 쿠쟁 문제는  인 경우에만 풀 수 있다. 이 층 코호몰로지 군은 구체적으로 다음과 같이 적을 수 있다. 다음과 같은 짧은 완전열

 

이 존재하므로, 이로부터 다음과 같은 지수열을 정의할 수 있다.

 

슈타인 다양체의 경우, 카르탕 B정리에 의하여  이다. 따라서

 

이므로,  이며, 슈타인 다양체에서의 제2 쿠쟁 문제의 해결의 필요충분조건은  이다.

역사편집

프랑스의 수학자 피에르 쿠쟁(프랑스어: Pierre Cousin)이 1895년에 제시하였다.[1]

참고 문헌편집

  1. Cousin, P. (1895). “Sur les fonctions de n variables”. 《Acta Mathematica》 (프랑스어) 19: 1–62. doi:10.1007/BF02402869. 

외부 링크편집

같이 보기편집