쿠쟁 문제

복소기하학에서 쿠쟁 문제(Cousin問題, 영어: Cousin problems)는 복소다양체 위의, 정칙 함수의 층과 유리형 함수의 층 사이의 관계에 대한 두 개의 유명한 문제이다.

정의

복소다양체 $M$ 및 열린 덮개 $\{U_{i}\}$ 및 유리형 함수 $f_{i}\colon U_{i}\to {\hat {\mathbb {C} }}$가 주어졌다고 하자.

제1 쿠쟁 문제

모든 $i,j$에 대하여, 만약 $U_{i}\cap U_{j}\neq \varnothing$이라면 $f_{i}|_{U_{i}\cap U_{j}}-f_{j}|_{U_{i}\cap U_{j}}$가 정칙함수라고 하자. 그렇다면, 제1 쿠쟁 문제는 다음 조건을 만족시키는 유리형 함수 $f\colon M\to {\hat {\mathbb {C} }}$가 존재하는지에 대한 문제이다.

• 모든 $i$에 대하여, $f|_{U_{i}}-f_{i}$는 정칙 함수이다.

이는 층 코호몰로지로 다음과 같이 서술할 수 있다. ${\mathcal {K}}$가 $M$ 위의 유리형 함수의 층이며, ${\mathcal {O}}$가 $M$ 위의 정칙 함수들의 층이라고 하자. 그렇다면 몫층 ${\mathcal {K}}/{\mathcal {O}}$를 정의할 수 있으며, 자연스러운 사상

$\Gamma _{M}({\mathcal {K}}){\xrightarrow {\phi }}\Gamma _{M}({\mathcal {K}}/{\mathcal {O}})$

가 존재한다. 여기서 $\Gamma _{M}$은 대역적 단면들의 아벨 군이다.

$\{f_{i}\}_{i\in I}$는 ${\mathcal {K}}/{\mathcal {O}}$의 대역적 단면을 정의한다. 만약 위 조건을 만족시키는 유리형 함수 $f$가 존재한다면, 이는 $\{f_{i}\}_{i\in I}$가 사상 $\phi$의 상에 포함된다는 것과 같다. 즉, 제1 쿠쟁 문제는 사상 $\phi$가 전사 사상인지 여부를 묻는다.

층 코호몰로지의 긴 완전열을 사용하면, $\Gamma _{M}(-)$은 0차 층 코호몰로지 $H^{0}(M;-)$과 같으므로,

$H^{0}(M;{\mathcal {K}}){\xrightarrow {\phi }}H^{0}(M;{\mathcal {K}}/\mathbf {O} )\to H^{1}(M;{\mathcal {O}})\to \cdots$

와 같은 긴 완전열이 존재한다. 따라서, 만약 $H^{1}(M;{\mathcal {O}})$가 자명군이라면 $\phi$는 전사 사상이 되며, 제1 쿠쟁 문제가 해결 가능하다. 특히, 카르탕 B정리에 따라서, 만약 $M$이 슈타인 다양체라면 제1 쿠쟁 문제가 해결 가능하다.

제2 쿠쟁 문제

모든 $i,j$에 대하여, 만약 $U_{i}\cap U_{j}\neq \varnothing$이라면 $(f_{i}|_{U_{i}\cap U_{j}})/(f_{j}|_{U_{i}\cap U_{j}})$가 어디서나 0이 아닌 정칙함수라고 하자. 그렇다면, 제1 쿠쟁 문제는 다음 조건을 만족시키는 유리형 함수 $f\colon M\to {\hat {\mathbb {C} }}$가 존재하는지에 대한 문제이다.

• 모든 $i$에 대하여, $f|_{U_{i}}/f_{i}$는 정칙함수이며, 어디서나 0이 아니다.

${\mathcal {O}}^{*}$가 어디서나 0이 아닌 정칙 함수들의 곱셈군의 층이며, ${\mathcal {K}}^{*}$가 모든 곳에서 0이 아닌 유리형 함수들의 곱셈군의 층이라고 하자. 그렇다면 몫층 ${\mathcal {K}}^{*}/{\mathcal {O}}^{*}$ 및 사상

$\Gamma _{M}({\mathcal {K}}^{*}){\xrightarrow {\phi }}\Gamma _{M}({\mathcal {K}}^{*}/{\mathcal {O}}^{*})$

를 정의할 수 있다. 이 경우 $\{f_{i}\}_{i\in I}$는 ${\mathcal {K}}^{*}/{\mathcal {O}}^{*}$의 대역적 단면을 정의하며, $f$는 ${\mathcal {K}}^{*}$의 대역적 단면이다. 따라서, 제2 쿠쟁 문제는 $\phi$가 전사 사상인지 여부와 동치이다.

제1 쿠쟁 문제와 마찬가지로, 층 코호몰로지의 긴 완전열을 사용하면

$H^{0}(M;{\mathcal {K}}^{*}){\xrightarrow {\phi }}H^{0}(M;{\mathcal {K}}^{*}/{\mathcal {O}}^{*})\to H^{1}(M;{\mathcal {O}}^{*})$

이다. 따라서, 제2 쿠쟁 문제는 $H^{1}(M;{\mathcal {O}}^{*})=0$인 경우에만 풀 수 있다. 이 층 코호몰로지 군은 구체적으로 다음과 같이 적을 수 있다. 다음과 같은 짧은 완전열

$0\to {\underline {2\pi i\mathbb {Z} }}\to {\mathcal {O}}{\xrightarrow {\exp }}{\mathcal {O}}^{*}\to 0$

이 존재하므로, 이로부터 다음과 같은 지수열을 정의할 수 있다.

$H^{1}(M;{\mathcal {O}})\to H^{1}(M;{\mathcal {O}}^{*})\to 2\pi iH^{2}(M;\mathbb {Z} )\to H^{2}(M;{\mathcal {O}})\to \cdots$

슈타인 다양체의 경우, 카르탕 B정리에 의하여 $H^{1}(M;{\mathcal {O}})\cong H^{2}(M;{\mathcal {O}})\cong 0$이다. 따라서

$0\to H^{1}(M;{\mathcal {O}}^{*})\to 2\pi iH^{2}(M;\mathbb {Z} )\to 0$

이므로, $H^{1}(M;{\mathcal {O}}^{*})\cong 2\pi iH^{2}(M;\mathbb {Z} )$이며, 슈타인 다양체에서의 제2 쿠쟁 문제의 해결의 필요충분조건은 $H^{2}(M;\mathbb {Z} )\cong 0$이다.

역사

프랑스의 수학자 피에르 쿠쟁(프랑스어: Pierre Cousin)이 1895년에 제시하였다.

외부 링크

• “Cousin problems”. 《Encyclopedia of Mathematics》 (영어). Springer-Verlag. 2001. ISBN 978-1-55608-010-4. 

같이 보기

• 카르탕 정리
• 미타그레플레르 정리
• 바이어슈트라스의 곱 정리
• 지수열