주 메뉴 열기

큰 수의 법칙(큰 數의 法則, 영어: law of large numbers) 또는 대수의 법칙, 라플라스의 정리는 큰 모집단에서 무작위로 뽑은 표본의 평균이 전체 모집단의 평균과 가까울 가능성이 높다는 통계확률 분야의 기본 개념이다.

약한 법칙편집

큰 수의 약한 법칙(또는 대수의 약법칙)은 확률 변수의 무한열 X1, X2, X3, ...이 모두 같은 기댓값 μ, 분산 σ2을 가지고 서로 상관 관계가 없을 때(임의의 두 확률 변수 사이의 상관 계수가 0), 표본의 평균

 

이 μ로 수렴한다는 것이다. 다시 적자면, 어떤 작은 양의 수 ε에 대해서도

 

이 성립한다.

일반화편집

대수의 약법칙은 각 확률 변수의 기댓값   과 분산   이 다르더라도 분산의 합   이 무한대로 발산한다면 성립한다. 이 경우의 공식화는 임의의 작은 양수 ε에 대해서 다음과 같다.[1]

  •  

성립 조건편집

위의 일반화된 대수의 약법칙이 성립할 조건을 약화시킬 수 있다. 먼저   를 다음과 같이 정의하자.

  •  

그러면,   의 확률변수열이 위의 일반화된 대수의 약법칙에 따르기 위한 필요충분조건은 다음과 같다.[2]

  •  

강한 법칙편집

큰 수의 강한 법칙(또는 대수의 강법칙)은 확률 변수의 무한열 X1, X2, X3, ... 이 주어지고, 각 확률 변수가 E(|Xi|) < ∞  이고 (기댓값 μ), 서로 독립이며 동일한 분포일 때,

 

이 성립한다. 즉 표본의 평균은 거의 확실하게 μ로 수렴한다.

같이 보기편집

각주편집

  1. 최용갑, 《확률론의 기초》, 경문사, 2006, 228쪽.
  2. 같은 책, 231쪽.

참고 문헌편집

  • 최용갑, 《확률론의 기초》, 경문사, 2006.