탁구 정리

군론에서, 탁구 정리(卓球定理, 영어: ping-pong lemma)는 어떤 부분군들의 합집합으로 생성되는 부분군이 각 성분들의 자유곱임을 보이는 정리이다.

탁구 정리의 이름은 탁구에서 공이 번갈아 움직이는 것에 빗댄 것이다.

정의

다음이 주어졌다고 하자.

• 군 $G$
• $G$의, 집합 $X$ 위의 왼쪽 작용
• $G$의 두 부분군 $H,H'\leq G$
• $X$의 두 부분 집합 $Y,Y'\subseteq X$

또한, 다음이 성립한다고 하자.

• $|H|\geq 3$
• $Y\neq \varnothing \neq Y'$
• $Y\not \subseteq Y'$
• $h'\cdot Y\subseteq Y'\qquad \forall h'\in H'\setminus \{1\}$
• $h\cdot Y'\subseteq Y\qquad \forall h\in H\setminus \{1\}$

탁구 정리에 따르면, 다음이 성립한다.

$\langle H\cup H'\rangle =H*H'$

여기서 좌변은 $G$의 부분 집합으로 생성되는 부분군이며, 우변은 군들의 자유곱이다.

증명:

임의의

$a_{0},a_{2},\dotsc \in H\setminus \{1\}$

$b_{1},b_{3},\dotsc \in H\setminus \{1\}$

$n\in \mathbb {Z} ^{+}$

에 대하여,

• ㈎ $a_{0}b_{1}a_{2}\dotsm a_{n+1}\neq 1$
• ㈏ $b_{1}a_{2}b_{3}\dotsm b_{n}\neq 1$
• ㈐ $a_{0}b_{1}a_{2}\dotsm b_{n}\neq 1$
• ㈑ $b_{1}a_{2}b_{3}\dotsm a_{n+1}\neq 1$

임을 보이면 족하다.

우선, ㈎의 경우는

$a_{0}b_{1}\dotsm a_{n}\cdot Y'\subseteq a_{0}b_{1}\dotsm b_{n}\cdot Y'\subseteq \dotsb \subseteq a_{0}Y'\subseteq Y$

인데, $Y'\not \subseteq Y$이므로 $a_{0}b_{0}\dotsm b_{n}a_{n}\neq 1$이다.

㈏의 경우, 임의의 $a_{0}=a_{n+1}^{-1}\in H\setminus \{1\}$를 고르면, ㈎에 의하여 $a_{0}(b_{1}\dotsm b_{n-1})a_{0}^{-1}\neq 1$이므로 $b_{1}\dotsm b_{n-1}\neq 1$이다.

㈐의 경우, 임의의 $a_{n+1}\in H\setminus \{1,a_{0}\}$를 고르자. 그렇다면, ㈎에 의하여 $a_{n+1}^{-1}(a_{0}b_{0}\dotsm b_{n})a_{n+1}\neq 1$이므로, $a_{0}b_{0}\dotsm b_{n-1}\neq 1$이다.

㈑의 경우, 임의의 $a_{0}\in H\setminus \{1,a_{n+1}\}$를 고르자. 그렇다면, ㈎에 의하여 $a_{0}(b_{1}a_{2}\dotsm b_{n}a_{n+1})a_{0}^{-1}\neq 1$이므로, $b_{1}a_{2}\dotsm b_{n}a_{n+1}\neq 1$이다.

역사

이 정리의 이름은 증명 과정에서 $H$와 $H'$의 번갈아 가는 군의 작용을 탁구에서 탁구공을 양 선수가 번갈아서 치는 것에 빗댄 것이다.

탁구 정리는 펠릭스 클라인이 19세기 말에 클라인 부분군을 연구하기 위하여 최초로 사용하였다. 이후 자크 티츠 등이 이 정리의 기법을 다시 사용하였다.

예

$\operatorname {SL} (2;\mathbb {Z} )$에서,

$A={\begin{pmatrix}1&2\\0&1\end{pmatrix}}$

$B={\begin{pmatrix}1&0\\2&1\end{pmatrix}}$

로 생성되는 부분군을 생각하자. $A$와 $B$는 각각 무한 차수의 원소이다. (즉, $A^{n}=1$이 되는 $n\in \mathbb {Z}$는 $n=0$ 밖에 없으며, $B$의 경우도 마찬가지이다.) 사실,

$A^{n}={\begin{pmatrix}1&2n\\0&1\end{pmatrix}}$

$B^{n}={\begin{pmatrix}1&0\\2n&1\end{pmatrix}}$

이다. 이제, $\operatorname {SL} (2;\mathbb {Z} )$는 $X=\mathbb {R} ^{2}=\mathbb {Z} ^{\oplus 2}\otimes _{\mathbb {Z} }\mathbb {R} ^{2}$ 위에 선형 변환으로 작용한다.

$Y=\{(x,y)\in X\colon |x|>|y|\}$

$Y'=\{(x,y)\in X\colon |x|<|y|\}$

로 잡으면,

$A^{n}Y'\subseteq Y$

$B^{n}Y\subseteq Y'$

임을 쉽게 확인할 수 있다. 따라서, 탁구 정리에 의하여 $\langle A,B\rangle$은 2개의 원소로 생성되는 자유군이다.

외부 링크

• Cook, Mary (2016년 4월 29일). “The ping-pong lemma” (PDF) (영어). 
• “Ping-pong lemma”. 《Groupprops》 (영어).