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환론에서, 텐서곱(영어: tensor product)은 두 쌍가군 또는 가군 또는 결합 대수에 대하여 정의할 수 있는 이항 연산이다.

정의편집

다음이 주어졌다고 하자.

  • 가환환  
  •  -결합 대수  ,  ,  
  •  -쌍가군 (= -왼쪽 가군)  
  •   (= -왼쪽 가군)  

그렇다면,   텐서곱은 다음과 같이 구성되는  -쌍가군이다.

  1. 곱집합   위의 자유  -쌍가군  를 생각하자.
  2.   위에 다음과 같은 이항 관계  로 생성되는 동치 관계  를 생각하자.
 
 
 
 
 
  1. 동치 관계 -쌍가군합동 관계임을 보일 수 있다. 따라서   -쌍가군이며, 이를 텐서곱  이라고 한다.

특수한 경우편집

다음과 같은 특수한 경우들을 생각할 수 있다.

  • 만약  라면,   -오른쪽 가군이며,   -왼쪽 가군이다. 이 경우,  -오른쪽 가군 -왼쪽 가군의 텐서곱은 아벨 군(= -쌍가군)이다.
  • 만약  라면,    -가군이다. 이 경우, 두  -가군의 텐서곱은  -가군이다.
    • 특히, 만약  일 때, 두  -벡터 공간의 텐서곱은  -벡터 공간이다.
    • 특히, 만약  일 때, 두 아벨 군의 텐서곱은 아벨 군이다.
  • 만약  이며,   이며,  ,  (즉,  계수 군환)이라고 하자. 그렇다면,   은 각각   표현이며, 이 경우   -왼쪽 가군을 이룬다. 즉,  직접곱  표현을 갖는다. 이를 두 군 표현외부 텐서곱(영어: external tensor product)이라고 한다.
    • 특히, 위의 경우에서 만약  라면, 대각 사상  를 통해,   표현을 이룬다. 이를 두 군 표현텐서곱이라고 한다.

결합 대수의 텐서곱편집

다음이 주어졌다고 하자.

  • 가환환  
  •  -결합 대수  ,  

그렇다면,   는 둘 다  -가군이므로, 텐서곱  를 정의할 수 있으며, 이는  -가군을 이룬다. 그런데, 이 경우  는 자연스럽게  -결합 대수의 구조를 가지며, 이는 다음과 같다.

 

이에 따라,  -결합 대수의 범주는 대칭 모노이드 범주가 된다.

성질편집

가환환   위의 가군범주  를 생각하자. 이는 텐서곱을 통해 대칭 모노이드 범주를 이룬다. 특히,

또한,  닫힌 모노이드 범주이다. 다시 말해, 임의의  -가군  에 대하여 다음이 성립한다.

 

Tor 함자편집

텐서곱 함자의 유도 함자Tor 함자라고 한다.

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가환환   위의 두 유한 차원 자유 가군

 
 
 

이 주어졌다고 하자. 그렇다면, 그 텐서곱은 다음과 같은 자유 가군이다.

 

즉, (차원이 더해지는) 직합과 달리, 텐서곱에서는 차원이 곱해진다.

참고 문헌편집

외부 링크편집