토메 함수

수학에서, 토메 함수(영어: Thomae’s function)는 디리클레 함수와 유사하게 정의된 함수의 하나이다.

정의편집

토메 함수  는 다음과 같다.

 

성질편집

연속성편집

토메 함수  는 모든 유리수점에서 불연속이며, 모든 무리수점에서 연속이다. 이는 임의의  에 대하여,

 

이기 때문이다.

증명:

임의의   에 대하여,  인 양의 정수  를 취하자. 분모가  에 속하는 분수로 나타낼 수 있는 유리수들의 집합을

 

라고 하자. 그렇다면,   속 임의의 서로 다른 두 점 사이의 거리는   이상이므로,  극한점을 갖지 않는다. 특히,   극한점이 아니므로,

 

 를 취할 수 있다. 그렇다면, 임의의  에 대하여,  무리수이거나,  는 분모가 양의 정수인 기약 분수로 나타냈을 때 분모가  보다 큰 유리수이므로,

 

이다.

만약  라면

 

이므로  에서 불연속이다. 만약  라면

 

이므로  에서 연속이다.

극댓값편집

토메 함수  는 모든 유리수점에서 엄격 극댓값을 갖는다.

증명:

임의의  에 대하여,

 
 

이므로,

 

 가 존재한다.

미분편집

토메 함수  는 모든 점에서 미분 불가능이다.

증명:

 는 모든 유리수점에서 불연속이므로 모든 유리수점에서 미분 불가능이다.

이제, 임의의  에 대하여,  의 소수점 표기를

 

라고 하고, 다음과 같은 유리수 수열  을 취하자.

 

그렇다면,   로 수렴하며, 임의의  에 대하여,

 

이다. 따라서

 

이다. 반면,  로 수렴하는 임의의 무리수 수열  을 취했을 경우, 임의의  에 대하여,

 

이므로,

 

이다. 따라서, 극한

 

은 존재하지 않는다.

적분편집

토메 함수  는 임의의 닫힌구간 위에서 리만 적분 가능하다. 또한,

 

이다.

증명:

 의 불연속점의 집합  가산 집합이므로 그 르베그 측도는 0이며, 따라서  는 임의의 닫힌구간 위에서 리만 적분 가능하다. 닫힌구간의 임의의 분할에 대하여, 분할된 각 구간에서 무리수점을 취할 경우 리만 합은 0이 된다. 따라서  의 닫힌구간에서의 적분은 0이며,

 

이다.

역사편집

카를 요하네스 토메(독일어: Carl Johannes Thomae)의 이름을 땄다.

참고 문헌편집

  • Robert G. Bartle & Donald R. Sherbert (1999), Introduction to Real Analysis, 3rd Edition (Example 5.1.6 (h)). Wiley. ISBN 978-0-471-32148-4
  • Michael Spivak, Calculus on manifolds. 1965. Perseus Books. ISBN 0-8053-9021-9
  • Abbot, Stephen. Understanding Analysis. Berlin: Springer, 2001. ISBN 0-387-95060-5

외부 링크편집